Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30081 / 41811
↖ ↑ ↗
← S 44.414164°
W 14.760132°		 ← 436.33 m → S 44.414164°
W 14.754638°		 →
↑
436.29 m
↓
↑
436.29 m
↓
S 44.418088°
W 14.760132°		 ← 436.30 m →
190 359 m²		 S 44.418088°
W 14.754638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459007263183594 y=0.637992858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459007263183594 × 216)
    floor (0.459007263183594 × 65536)
    floor (30081.5)     		tx = 30081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637992858886719 × 216)
    floor (0.637992858886719 × 65536)
    floor (41811.5)     		ty = 41811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30081 / 41811 ti = "16/30081/41811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30081/41811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30081 ÷ 216
    30081 ÷ 65536     		x = 0.458999633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41811 ÷ 216
    41811 ÷ 65536     		y = 0.637985229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458999633789062 × 2 - 1) × π
    -0.082000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25761290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637985229492188 × 2 - 1) × π
    -0.275970458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.866986766528336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25761290} λ = -0.25761290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866986766528336))-π/2
    2×atan(0.420215851941825)-π/2
    2×0.397811462540763-π/2
    0.795622925081527-1.57079632675     		φ = -0.77517340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25761290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.760132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77517340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.414164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30081 KachelY 41811 -0.25761290 -0.77517340 -14.760132 -44.414164
    Oben rechts KachelX + 1 30082 KachelY 41811 -0.25751702 -0.77517340 -14.754638 -44.414164
    Unten links KachelX 30081 KachelY + 1 41812 -0.25761290 -0.77524188 -14.760132 -44.418088
    Unten rechts KachelX + 1 30082 KachelY + 1 41812 -0.25751702 -0.77524188 -14.754638 -44.418088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77517340--0.77524188) × R
    6.84800000000374e-05 × 6371000     		dl = 436.286080000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77517340--0.77524188) × R
    6.84800000000374e-05 × 6371000     		dr = 436.286080000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25761290--0.25751702) × cos(-0.77517340) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.714299692548626 × 6371000     		do = 436.331024356839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25761290--0.25751702) × cos(-0.77524188) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.714251765834342 × 6371000     		du = 436.301748252488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77517340)-sin(-0.77524188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714299692548626-0.714251765834342)×R²
    abs(-0.25751702--0.25761290)×4.79267142838857e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79267142838857e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79267142838857e-05×40589641000000     		ar = 190358.765895408m²