Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30080 / 13696
↖ ↑ ↗
← N 71.746432°
W 14.765625°		 ← 191.31 m → N 71.746432°
W 14.760132°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 71.744711°
W 14.765625°		 ← 191.33 m →
36 604 m²		 N 71.744711°
W 14.760132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458992004394531 y=0.208992004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458992004394531 × 216)
    floor (0.458992004394531 × 65536)
    floor (30080.5)     		tx = 30080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208992004394531 × 216)
    floor (0.208992004394531 × 65536)
    floor (13696.5)     		ty = 13696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30080 / 13696 ti = "16/30080/13696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30080/13696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30080 ÷ 216
    30080 ÷ 65536     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13696 ÷ 216
    13696 ÷ 65536     		y = 0.208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208984375 × 2 - 1) × π
    0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82850509910742))-π/2
    2×atan(6.22457457784768)-π/2
    2×1.41150389341655-π/2
    2.8230077868331-1.57079632675     		φ = 1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30080 KachelY 13696 -0.25770877 1.25221146 -14.765625 71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 30081 KachelY 13696 -0.25761290 1.25221146 -14.760132 71.746432
    Unten links KachelX 30080 KachelY + 1 13697 -0.25770877 1.25218143 -14.765625 71.744711
    Unten rechts KachelX + 1 30081 KachelY + 1 13697 -0.25761290 1.25218143 -14.760132 71.744711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25221146-1.25218143) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25221146-1.25218143) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25761290) × cos(1.25221146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 191.312748077285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25761290) × cos(1.25218143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313251470266903 × 6371000     		du = 191.330166973539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25221146)-sin(1.25218143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.313251470266903)×R²
    abs(-0.25761290--0.25770877)×2.85187377834784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85187377834784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85187377834784e-05×40589641000000     		ar = 36603.8374496406m²