Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30080 / 13694
↖ ↑ ↗
← N 71.749872°
W 14.765625°		 ← 191.28 m → N 71.749872°
W 14.760132°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 71.748152°
W 14.765625°		 ← 191.30 m →
36 585 m²		 N 71.748152°
W 14.760132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458992004394531 y=0.208961486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458992004394531 × 216)
    floor (0.458992004394531 × 65536)
    floor (30080.5)     		tx = 30080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208961486816406 × 216)
    floor (0.208961486816406 × 65536)
    floor (13694.5)     		ty = 13694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30080 / 13694 ti = "16/30080/13694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30080/13694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30080 ÷ 216
    30080 ÷ 65536     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13694 ÷ 216
    13694 ÷ 65536     		y = 0.208953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208953857421875 × 2 - 1) × π
    0.58209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8286968467059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8286968467059))-π/2
    2×atan(6.22576823951177)-π/2
    2×1.41153392055686-π/2
    2.82306784111373-1.57079632675     		φ = 1.25227151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25227151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.749872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30080 KachelY 13694 -0.25770877 1.25227151 -14.765625 71.749872
    Oben rechts KachelX + 1 30081 KachelY 13694 -0.25761290 1.25227151 -14.760132 71.749872
    Unten links KachelX 30080 KachelY + 1 13695 -0.25770877 1.25224149 -14.765625 71.748152
    Unten rechts KachelX + 1 30081 KachelY + 1 13695 -0.25761290 1.25224149 -14.760132 71.748152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25227151-1.25224149) × R
    3.00199999998529e-05 × 6371000     		dl = 191.257419999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25227151-1.25224149) × R
    3.00199999998529e-05 × 6371000     		dr = 191.257419999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25761290) × cos(1.25227151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313165922703168 × 6371000     		do = 191.277915567856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25761290) × cos(1.25224149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.313194432508871 × 6371000     		du = 191.295329008505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25227151)-sin(1.25224149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313165922703168-0.313194432508871)×R²
    abs(-0.25761290--0.25770877)×2.85098057027366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85098057027366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85098057027366e-05×40589641000000     		ar = 36584.9858618471m²