Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30079 / 42135
↖ ↑ ↗
← S 45.671644°
W 14.771118°		 ← 426.84 m → S 45.671644°
W 14.765625°		 →
↑
426.79 m
↓
↑
426.79 m
↓
S 45.675482°
W 14.771118°		 ← 426.82 m →
182 168 m²		 S 45.675482°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458976745605469 y=0.642936706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458976745605469 × 216)
    floor (0.458976745605469 × 65536)
    floor (30079.5)     		tx = 30079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642936706542969 × 216)
    floor (0.642936706542969 × 65536)
    floor (42135.5)     		ty = 42135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30079 / 42135 ti = "16/30079/42135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30079/42135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30079 ÷ 216
    30079 ÷ 65536     		x = 0.458969116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42135 ÷ 216
    42135 ÷ 65536     		y = 0.642929077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458969116210938 × 2 - 1) × π
    -0.082061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25780465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642929077148438 × 2 - 1) × π
    -0.285858154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898049877482132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25780465} λ = -0.25780465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898049877482132))-π/2
    2×atan(0.407363293979627)-π/2
    2×0.386837883396287-π/2
    0.773675766792573-1.57079632675     		φ = -0.79712056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25780465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.771118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79712056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.671644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30079 KachelY 42135 -0.25780465 -0.79712056 -14.771118 -45.671644
    Oben rechts KachelX + 1 30080 KachelY 42135 -0.25770877 -0.79712056 -14.765625 -45.671644
    Unten links KachelX 30079 KachelY + 1 42136 -0.25780465 -0.79718755 -14.771118 -45.675482
    Unten rechts KachelX + 1 30080 KachelY + 1 42136 -0.25770877 -0.79718755 -14.765625 -45.675482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79712056--0.79718755) × R
    6.6989999999989e-05 × 6371000     		dl = 426.79328999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79712056--0.79718755) × R
    6.6989999999989e-05 × 6371000     		dr = 426.79328999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25780465--0.25770877) × cos(-0.79712056) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.698769402058664 × 6371000     		do = 426.844323426464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25780465--0.25770877) × cos(-0.79718755) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.698721479395608 × 6371000     		du = 426.815049796811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79712056)-sin(-0.79718755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698769402058664-0.698721479395608)×R²
    abs(-0.25770877--0.25780465)×4.79226630551999e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79226630551999e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79226630551999e-05×40589641000000     		ar = 182168.046286945m²