Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30079 / 13693
↖ ↑ ↗
← N 71.751593°
W 14.771118°		 ← 191.28 m → N 71.751593°
W 14.765625°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 71.749872°
W 14.771118°		 ← 191.30 m →
36 598 m²		 N 71.749872°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458976745605469 y=0.208946228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458976745605469 × 216)
    floor (0.458976745605469 × 65536)
    floor (30079.5)     		tx = 30079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208946228027344 × 216)
    floor (0.208946228027344 × 65536)
    floor (13693.5)     		ty = 13693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30079 / 13693 ti = "16/30079/13693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30079/13693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30079 ÷ 216
    30079 ÷ 65536     		x = 0.458969116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13693 ÷ 216
    13693 ÷ 65536     		y = 0.208938598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458969116210938 × 2 - 1) × π
    -0.082061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25780465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208938598632812 × 2 - 1) × π
    0.582122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82879272050514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25780465} λ = -0.25780465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82879272050514))-π/2
    2×atan(6.22636515617995)-π/2
    2×1.41154893207665-π/2
    2.82309786415329-1.57079632675     		φ = 1.25230154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25780465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.771118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25230154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.751593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30079 KachelY 13693 -0.25780465 1.25230154 -14.771118 71.751593
    Oben rechts KachelX + 1 30080 KachelY 13693 -0.25770877 1.25230154 -14.765625 71.751593
    Unten links KachelX 30079 KachelY + 1 13694 -0.25780465 1.25227151 -14.771118 71.749872
    Unten rechts KachelX + 1 30080 KachelY + 1 13694 -0.25770877 1.25227151 -14.765625 71.749872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25230154-1.25227151) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25230154-1.25227151) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25780465--0.25770877) × cos(1.25230154) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.313137403118162 × 6371000     		do = 191.280446138182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25780465--0.25770877) × cos(1.25227151) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.313165922703168 × 6371000     		du = 191.297867368892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25230154)-sin(1.25227151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313137403118162-0.313165922703168)×R²
    abs(-0.25770877--0.25780465)×2.85195850064923e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.85195850064923e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.85195850064923e-05×40589641000000     		ar = 36597.6576296686m²