Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30076 / 42127
↖ ↑ ↗
← S 45.640928°
W 14.787598°		 ← 427.08 m → S 45.640928°
W 14.782104°		 →
↑
427.05 m
↓
↑
427.05 m
↓
S 45.644768°
W 14.787598°		 ← 427.05 m →
182 377 m²		 S 45.644768°
W 14.782104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458930969238281 y=0.642814636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458930969238281 × 216)
    floor (0.458930969238281 × 65536)
    floor (30076.5)     		tx = 30076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642814636230469 × 216)
    floor (0.642814636230469 × 65536)
    floor (42127.5)     		ty = 42127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30076 / 42127 ti = "16/30076/42127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30076/42127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30076 ÷ 216
    30076 ÷ 65536     		x = 0.45892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42127 ÷ 216
    42127 ÷ 65536     		y = 0.642807006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.0821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25809227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642807006835938 × 2 - 1) × π
    -0.285614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.897282887088211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25809227} λ = -0.25809227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897282887088211))-π/2
    2×atan(0.407675857564256)-π/2
    2×0.387105931620442-π/2
    0.774211863240884-1.57079632675     		φ = -0.79658446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25809227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.787598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79658446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.640928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30076 KachelY 42127 -0.25809227 -0.79658446 -14.787598 -45.640928
    Oben rechts KachelX + 1 30077 KachelY 42127 -0.25799639 -0.79658446 -14.782104 -45.640928
    Unten links KachelX 30076 KachelY + 1 42128 -0.25809227 -0.79665149 -14.787598 -45.644768
    Unten rechts KachelX + 1 30077 KachelY + 1 42128 -0.25799639 -0.79665149 -14.782104 -45.644768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79658446--0.79665149) × R
    6.70299999999679e-05 × 6371000     		dl = 427.048129999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79658446--0.79665149) × R
    6.70299999999679e-05 × 6371000     		dr = 427.048129999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25809227--0.25799639) × cos(-0.79658446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.69915279914984 × 6371000     		do = 427.07852210679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25809227--0.25799639) × cos(-0.79665149) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699104872987187 × 6371000     		du = 427.049246339403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79658446)-sin(-0.79665149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69915279914984-0.699104872987187)×R²
    abs(-0.25799639--0.25809227)×4.79261626530336e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79261626530336e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79261626530336e-05×40589641000000     		ar = 182376.83321644m²