Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30075 / 42115
↖ ↑ ↗
← S 45.594822°
W 14.793091°		 ← 427.39 m → S 45.594822°
W 14.787598°		 →
↑
427.37 m
↓
↑
427.37 m
↓
S 45.598666°
W 14.793091°		 ← 427.36 m →
182 644 m²		 S 45.598666°
W 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458915710449219 y=0.642631530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458915710449219 × 216)
    floor (0.458915710449219 × 65536)
    floor (30075.5)     		tx = 30075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642631530761719 × 216)
    floor (0.642631530761719 × 65536)
    floor (42115.5)     		ty = 42115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30075 / 42115 ti = "16/30075/42115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30075/42115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30075 ÷ 216
    30075 ÷ 65536     		x = 0.458908081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42115 ÷ 216
    42115 ÷ 65536     		y = 0.642623901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458908081054688 × 2 - 1) × π
    -0.082183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25818814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.285247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.89613240149733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25818814} λ = -0.25818814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89613240149733))-π/2
    2×atan(0.408145152670999)-π/2
    2×0.387508279642284-π/2
    0.775016559284569-1.57079632675     		φ = -0.79577977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25818814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.793091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79577977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.594822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30075 KachelY 42115 -0.25818814 -0.79577977 -14.793091 -45.594822
    Oben rechts KachelX + 1 30076 KachelY 42115 -0.25809227 -0.79577977 -14.787598 -45.594822
    Unten links KachelX 30075 KachelY + 1 42116 -0.25818814 -0.79584685 -14.793091 -45.598666
    Unten rechts KachelX + 1 30076 KachelY + 1 42116 -0.25809227 -0.79584685 -14.787598 -45.598666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79577977--0.79584685) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dl = 427.366679999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79577977--0.79584685) × R
    6.70799999999971e-05 × 6371000     		dr = 427.366679999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25818814--0.25809227) × cos(-0.79577977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699727903773228 × 6371000     		do = 427.385245952415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25818814--0.25809227) × cos(-0.79584685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69967997961314 × 6371000     		du = 427.355974461546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79577977)-sin(-0.79584685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699727903773228-0.69967997961314)×R²
    abs(-0.25809227--0.25818814)×4.7924160088475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7924160088475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7924160088475e-05×40589641000000     		ar = 182643.958882263m²