Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30075 / 20233
↖ ↑ ↗
← N 56.532228°
W 14.793091°		 ← 336.83 m → N 56.532228°
W 14.787598°		 →
↑
336.83 m
↓
↑
336.83 m
↓
N 56.529199°
W 14.793091°		 ← 336.86 m →
113 461 m²		 N 56.529199°
W 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458915710449219 y=0.308738708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458915710449219 × 216)
    floor (0.458915710449219 × 65536)
    floor (30075.5)     		tx = 30075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308738708496094 × 216)
    floor (0.308738708496094 × 65536)
    floor (20233.5)     		ty = 20233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30075 / 20233 ti = "16/30075/20233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30075/20233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30075 ÷ 216
    30075 ÷ 65536     		x = 0.458908081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20233 ÷ 216
    20233 ÷ 65536     		y = 0.308731079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458908081054688 × 2 - 1) × π
    -0.082183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25818814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308731079101562 × 2 - 1) × π
    0.382537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20177807347481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25818814} λ = -0.25818814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20177807347481))-π/2
    2×atan(3.32602558603216)-π/2
    2×1.27873492435958-π/2
    2.55746984871917-1.57079632675     		φ = 0.98667352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25818814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.793091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98667352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.532228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30075 KachelY 20233 -0.25818814 0.98667352 -14.793091 56.532228
    Oben rechts KachelX + 1 30076 KachelY 20233 -0.25809227 0.98667352 -14.787598 56.532228
    Unten links KachelX 30075 KachelY + 1 20234 -0.25818814 0.98662065 -14.793091 56.529199
    Unten rechts KachelX + 1 30076 KachelY + 1 20234 -0.25809227 0.98662065 -14.787598 56.529199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98667352-0.98662065) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dl = 336.834769999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98667352-0.98662065) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dr = 336.834769999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25818814--0.25809227) × cos(0.98667352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		do = 336.829814295414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25818814--0.25809227) × cos(0.98662065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551511946577143 × 6371000     		du = 336.856751978205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98667352)-sin(0.98662065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551467843397422-0.551511946577143)×R²
    abs(-0.25809227--0.25818814)×4.41031797207003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41031797207003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41031797207003e-05×40589641000000     		ar = 113460.529828016m²