Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30074 / 42118
↖ ↑ ↗
← S 45.606352°
W 14.798584°		 ← 427.34 m → S 45.606352°
W 14.793091°		 →
↑
427.30 m
↓
↑
427.30 m
↓
S 45.610195°
W 14.798584°		 ← 427.31 m →
182 598 m²		 S 45.610195°
W 14.793091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458900451660156 y=0.642677307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458900451660156 × 216)
    floor (0.458900451660156 × 65536)
    floor (30074.5)     		tx = 30074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642677307128906 × 216)
    floor (0.642677307128906 × 65536)
    floor (42118.5)     		ty = 42118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30074 / 42118 ti = "16/30074/42118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30074/42118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30074 ÷ 216
    30074 ÷ 65536     		x = 0.458892822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42118 ÷ 216
    42118 ÷ 65536     		y = 0.642669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.28533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.89642002289505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25828402} λ = -0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89642002289505))-π/2
    2×atan(0.408027778272219)-π/2
    2×0.387407661621676-π/2
    0.774815323243351-1.57079632675     		φ = -0.79598100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79598100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.606352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30074 KachelY 42118 -0.25828402 -0.79598100 -14.798584 -45.606352
    Oben rechts KachelX + 1 30075 KachelY 42118 -0.25818814 -0.79598100 -14.793091 -45.606352
    Unten links KachelX 30074 KachelY + 1 42119 -0.25828402 -0.79604807 -14.798584 -45.610195
    Unten rechts KachelX + 1 30075 KachelY + 1 42119 -0.25818814 -0.79604807 -14.793091 -45.610195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79598100--0.79604807) × R
    6.70699999999469e-05 × 6371000     		dl = 427.302969999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79598100--0.79604807) × R
    6.70699999999469e-05 × 6371000     		dr = 427.302969999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25828402--0.25818814) × cos(-0.79598100) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699584128993575 × 6371000     		do = 427.342000580203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25828402--0.25818814) × cos(-0.79604807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699536202535469 × 6371000     		du = 427.312724632338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79598100)-sin(-0.79604807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699584128993575-0.699536202535469)×R²
    abs(-0.25818814--0.25828402)×4.7926458106029e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7926458106029e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7926458106029e-05×40589641000000     		ar = 182598.251272389m²