Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30074 / 41810
↖ ↑ ↗
← S 44.410241°
W 14.798584°		 ← 436.36 m → S 44.410241°
W 14.793091°		 →
↑
436.29 m
↓
↑
436.29 m
↓
S 44.414164°
W 14.798584°		 ← 436.33 m →
190 372 m²		 S 44.414164°
W 14.793091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458900451660156 y=0.637977600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458900451660156 × 216)
    floor (0.458900451660156 × 65536)
    floor (30074.5)     		tx = 30074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637977600097656 × 216)
    floor (0.637977600097656 × 65536)
    floor (41810.5)     		ty = 41810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30074 / 41810 ti = "16/30074/41810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30074/41810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30074 ÷ 216
    30074 ÷ 65536     		x = 0.458892822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41810 ÷ 216
    41810 ÷ 65536     		y = 0.637969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458892822265625 × 2 - 1) × π
    -0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.27593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.866890892729095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25828402} λ = -0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866890892729095))-π/2
    2×atan(0.42025614156338)-π/2
    2×0.397845705002098-π/2
    0.795691410004196-1.57079632675     		φ = -0.77510492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77510492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.410241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30074 KachelY 41810 -0.25828402 -0.77510492 -14.798584 -44.410241
    Oben rechts KachelX + 1 30075 KachelY 41810 -0.25818814 -0.77510492 -14.793091 -44.410241
    Unten links KachelX 30074 KachelY + 1 41811 -0.25828402 -0.77517340 -14.798584 -44.414164
    Unten rechts KachelX + 1 30075 KachelY + 1 41811 -0.25818814 -0.77517340 -14.793091 -44.414164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77510492--0.77517340) × R
    6.84800000000374e-05 × 6371000     		dl = 436.286080000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77510492--0.77517340) × R
    6.84800000000374e-05 × 6371000     		dr = 436.286080000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25828402--0.25818814) × cos(-0.77510492) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.714347615913194 × 6371000     		do = 436.360298415012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25828402--0.25818814) × cos(-0.77517340) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.714299692548626 × 6371000     		du = 436.331024356839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77510492)-sin(-0.77517340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714347615913194-0.714299692548626)×R²
    abs(-0.25818814--0.25828402)×4.79233645679367e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79233645679367e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79233645679367e-05×40589641000000     		ar = 190371.53820517m²