Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30073 / 15134
N 69.103859°
W 14.804077°
← 217.85 m → N 69.103859°
W 14.798584°

217.89 m

217.89 m
N 69.101899°
W 14.804077°
← 217.87 m →
47 470 m²
N 69.101899°
W 14.798584°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458885192871094 y=0.230934143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458885192871094 × 216)
    floor (0.458885192871094 × 65536)
    floor (30073.5)
    tx = 30073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230934143066406 × 216)
    floor (0.230934143066406 × 65536)
    floor (15134.5)
    ty = 15134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30073 / 15134 ti = "16/30073/15134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30073/15134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30073 ÷ 216
    30073 ÷ 65536
    x = 0.458877563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15134 ÷ 216
    15134 ÷ 65536
    y = 0.230926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.458877563476562 × 2 - 1) × π
    -0.082244873046875 × 3.1415926535
    Λ = -0.25837989
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.230926513671875 × 2 - 1) × π
    0.53814697265625 × 3.1415926535
    Φ = 1.69063857580014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25837989} λ = -0.25837989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69063857580014))-π/2
    2×atan(5.42294255956943)-π/2
    2×1.38844309236987-π/2
    2.77688618473973-1.57079632675
    φ = 1.20608986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25837989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.804077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20608986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.103859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30073 KachelY 15134 -0.25837989 1.20608986 -14.804077 69.103859
    Oben rechts KachelX + 1 30074 KachelY 15134 -0.25828402 1.20608986 -14.798584 69.103859
    Unten links KachelX 30073 KachelY + 1 15135 -0.25837989 1.20605566 -14.804077 69.101899
    Unten rechts KachelX + 1 30074 KachelY + 1 15135 -0.25828402 1.20605566 -14.798584 69.101899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.20608986-1.20605566) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000
    dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.20608986-1.20605566) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000
    dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25837989--0.25828402) × cos(1.20608986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356675082761584 × 6371000
    do = 217.852778414509m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25837989--0.25828402) × cos(1.20605566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.356707033167598 × 6371000
    du = 217.872293331749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.20608986)-sin(1.20605566))×
    abs(λ12)×abs(0.356675082761584-0.356707033167598)×
    abs(-0.25828402--0.25837989)×3.1950406013781e-05×
    9.58699999999979e-05×3.1950406013781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1950406013781e-05×40589641000000
    ar = 47469.675793444m²