Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30072 / 42796
↖ ↑ ↗
← S 48.151428°
W 14.809570°		 ← 407.50 m → S 48.151428°
W 14.804077°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
S 48.155093°
W 14.809570°		 ← 407.47 m →
166 044 m²		 S 48.155093°
W 14.804077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458869934082031 y=0.653022766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458869934082031 × 216)
    floor (0.458869934082031 × 65536)
    floor (30072.5)     		tx = 30072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653022766113281 × 216)
    floor (0.653022766113281 × 65536)
    floor (42796.5)     		ty = 42796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30072 / 42796 ti = "16/30072/42796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30072/42796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30072 ÷ 216
    30072 ÷ 65536     		x = 0.4588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42796 ÷ 216
    42796 ÷ 65536     		y = 0.65301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.961422458779846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25847576} λ = -0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961422458779846))-π/2
    2×atan(0.382348623814732)-π/2
    2×0.36519768308828-π/2
    0.73039536617656-1.57079632675     		φ = -0.84040096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84040096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.151428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30072 KachelY 42796 -0.25847576 -0.84040096 -14.809570 -48.151428
    Oben rechts KachelX + 1 30073 KachelY 42796 -0.25837989 -0.84040096 -14.804077 -48.151428
    Unten links KachelX 30072 KachelY + 1 42797 -0.25847576 -0.84046492 -14.809570 -48.155093
    Unten rechts KachelX + 1 30073 KachelY + 1 42797 -0.25837989 -0.84046492 -14.804077 -48.155093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84040096--0.84046492) × R
    6.3959999999974e-05 × 6371000     		dl = 407.489159999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84040096--0.84046492) × R
    6.3959999999974e-05 × 6371000     		dr = 407.489159999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25847576--0.25837989) × cos(-0.84040096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667164200090286 × 6371000     		do = 407.495733996971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25847576--0.25837989) × cos(-0.84046492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667116554238197 × 6371000     		du = 407.466632493224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84040096)-sin(-0.84046492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667164200090286-0.667116554238197)×R²
    abs(-0.25837989--0.25847576)×4.7645852089051e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7645852089051e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7645852089051e-05×40589641000000     		ar = 166044.165133046m²