Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30071 / 42114
↖ ↑ ↗
← S 45.590978°
W 14.815064°		 ← 427.46 m → S 45.590978°
W 14.809570°		 →
↑
427.43 m
↓
↑
427.43 m
↓
S 45.594822°
W 14.815064°		 ← 427.43 m →
182 703 m²		 S 45.594822°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458854675292969 y=0.642616271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458854675292969 × 216)
    floor (0.458854675292969 × 65536)
    floor (30071.5)     		tx = 30071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642616271972656 × 216)
    floor (0.642616271972656 × 65536)
    floor (42114.5)     		ty = 42114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30071 / 42114 ti = "16/30071/42114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30071/42114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30071 ÷ 216
    30071 ÷ 65536     		x = 0.458847045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42114 ÷ 216
    42114 ÷ 65536     		y = 0.642608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458847045898438 × 2 - 1) × π
    -0.082305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25857164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89603652769809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25857164} λ = -0.25857164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89603652769809))-π/2
    2×atan(0.408184284973278)-π/2
    2×0.387541823577381-π/2
    0.775083647154761-1.57079632675     		φ = -0.79571268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25857164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.815064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79571268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.590978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30071 KachelY 42114 -0.25857164 -0.79571268 -14.815064 -45.590978
    Oben rechts KachelX + 1 30072 KachelY 42114 -0.25847576 -0.79571268 -14.809570 -45.590978
    Unten links KachelX 30071 KachelY + 1 42115 -0.25857164 -0.79577977 -14.815064 -45.594822
    Unten rechts KachelX + 1 30072 KachelY + 1 42115 -0.25847576 -0.79577977 -14.809570 -45.594822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79571268--0.79577977) × R
    6.70900000000474e-05 × 6371000     		dl = 427.430390000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79571268--0.79577977) × R
    6.70900000000474e-05 × 6371000     		dr = 427.430390000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25857164--0.25847576) × cos(-0.79571268) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699775831928357 × 6371000     		do = 427.459102601636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25857164--0.25847576) × cos(-0.79577977) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699727903773228 × 6371000     		du = 427.429825617141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79571268)-sin(-0.79577977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699775831928357-0.699727903773228)×R²
    abs(-0.25847576--0.25857164)×4.79281551294397e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79281551294397e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79281551294397e-05×40589641000000     		ar = 182702.754066291m²