Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3007 / 3403
↖ ↑ ↗
← N 29.113775°
W 47.856445°		 ← 4 269.11 m → N 29.113775°
W 47.812500°		 →
↑
4 269.91 m
↓
↑
4 269.91 m
↓
N 29.075375°
W 47.856445°		 ← 4 270.70 m →
18 232 110 m²		 N 29.075375°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36712646484375 y=0.41546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36712646484375 × 213)
    floor (0.36712646484375 × 8192)
    floor (3007.5)     		tx = 3007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41546630859375 × 213)
    floor (0.41546630859375 × 8192)
    floor (3403.5)     		ty = 3403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3007 / 3403 ti = "13/3007/3403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3007/3403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3007 ÷ 213
    3007 ÷ 8192     		x = 0.3670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3403 ÷ 213
    3403 ÷ 8192     		y = 0.4154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4154052734375 × 2 - 1) × π
    0.169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.531524342987183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83525254} λ = -0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531524342987183))-π/2
    2×atan(1.70152403901006)-π/2
    2×1.03946378255624-π/2
    2.07892756511248-1.57079632675     		φ = 0.50813124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50813124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.113775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3007 KachelY 3403 -0.83525254 0.50813124 -47.856445 29.113775
    Oben rechts KachelX + 1 3008 KachelY 3403 -0.83448555 0.50813124 -47.812500 29.113775
    Unten links KachelX 3007 KachelY + 1 3404 -0.83525254 0.50746103 -47.856445 29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 3008 KachelY + 1 3404 -0.83448555 0.50746103 -47.812500 29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50813124-0.50746103) × R
    0.000670210000000004 × 6371000     		dl = 4269.90791000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50813124-0.50746103) × R
    0.000670210000000004 × 6371000     		dr = 4269.90791000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83525254--0.83448555) × cos(0.50813124) × R
    0.000766990000000023 × 0.873655269300004 × 6371000     		do = 4269.11061120774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83525254--0.83448555) × cos(0.50746103) × R
    0.000766990000000023 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 4270.70307726735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50813124)-sin(0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873655269300004-0.873981160683682)×R²
    abs(-0.83448555--0.83525254)×0.000325891383678667×R²
    0.000766990000000023×0.000325891383678667×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325891383678667×40589641000000     		ar = 18232109.6916334m²