Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30069 / 42852
↖ ↑ ↗
← S 48.356249°
W 14.826050°		 ← 405.87 m → S 48.356249°
W 14.820557°		 →
↑
405.83 m
↓
↑
405.83 m
↓
S 48.359899°
W 14.826050°		 ← 405.84 m →
164 708 m²		 S 48.359899°
W 14.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458824157714844 y=0.653877258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458824157714844 × 216)
    floor (0.458824157714844 × 65536)
    floor (30069.5)     		tx = 30069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653877258300781 × 216)
    floor (0.653877258300781 × 65536)
    floor (42852.5)     		ty = 42852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30069 / 42852 ti = "16/30069/42852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30069/42852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30069 ÷ 216
    30069 ÷ 65536     		x = 0.458816528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42852 ÷ 216
    42852 ÷ 65536     		y = 0.65386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458816528320312 × 2 - 1) × π
    -0.082366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25876338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25876338} λ = -0.25876338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966791391537293))-π/2
    2×atan(0.380301320598086)-π/2
    2×0.36341028366673-π/2
    0.72682056733346-1.57079632675     		φ = -0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25876338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.826050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30069 KachelY 42852 -0.25876338 -0.84397576 -14.826050 -48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 30070 KachelY 42852 -0.25866751 -0.84397576 -14.820557 -48.356249
    Unten links KachelX 30069 KachelY + 1 42853 -0.25876338 -0.84403946 -14.826050 -48.359899
    Unten rechts KachelX + 1 30070 KachelY + 1 42853 -0.25866751 -0.84403946 -14.820557 -48.359899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84397576--0.84403946) × R
    6.36999999999999e-05 × 6371000     		dl = 405.832699999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84397576--0.84403946) × R
    6.36999999999999e-05 × 6371000     		dr = 405.832699999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25876338--0.25866751) × cos(-0.84397576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 405.866662872756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25876338--0.25866751) × cos(-0.84403946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664449432356975 × 6371000     		du = 405.837587067073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84397576)-sin(-0.84403946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664449432356975)×R²
    abs(-0.25866751--0.25876338)×4.76037784483685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76037784483685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76037784483685e-05×40589641000000     		ar = 164708.063733025m²