Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30069 / 15098
↖ ↑ ↗
← N 69.174279°
W 14.826050°		 ← 217.15 m → N 69.174279°
W 14.820557°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
N 69.172326°
W 14.826050°		 ← 217.17 m →
47 151 m²		 N 69.172326°
W 14.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458824157714844 y=0.230384826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458824157714844 × 216)
    floor (0.458824157714844 × 65536)
    floor (30069.5)     		tx = 30069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230384826660156 × 216)
    floor (0.230384826660156 × 65536)
    floor (15098.5)     		ty = 15098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30069 / 15098 ti = "16/30069/15098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30069/15098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30069 ÷ 216
    30069 ÷ 65536     		x = 0.458816528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15098 ÷ 216
    15098 ÷ 65536     		y = 0.230377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458816528320312 × 2 - 1) × π
    -0.082366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25876338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230377197265625 × 2 - 1) × π
    0.53924560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69409003257278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25876338} λ = -0.25876338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69409003257278))-π/2
    2×atan(5.44169194913535)-π/2
    2×1.38905762523563-π/2
    2.77811525047126-1.57079632675     		φ = 1.20731892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25876338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.826050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20731892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.174279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30069 KachelY 15098 -0.25876338 1.20731892 -14.826050 69.174279
    Oben rechts KachelX + 1 30070 KachelY 15098 -0.25866751 1.20731892 -14.820557 69.174279
    Unten links KachelX 30069 KachelY + 1 15099 -0.25876338 1.20728484 -14.826050 69.172326
    Unten rechts KachelX + 1 30070 KachelY + 1 15099 -0.25866751 1.20728484 -14.820557 69.172326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20731892-1.20728484) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20731892-1.20728484) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25876338--0.25866751) × cos(1.20731892) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355526590779061 × 6371000     		do = 217.151293557641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25876338--0.25866751) × cos(1.20728484) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355558443995555 × 6371000     		du = 217.17074911271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20731892)-sin(1.20728484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355526590779061-0.355558443995555)×R²
    abs(-0.25866751--0.25876338)×3.1853216493849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1853216493849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1853216493849e-05×40589641000000     		ar = 47150.8001093617m²