Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30069 / 15090
↖ ↑ ↗
← N 69.189897°
W 14.826050°		 ← 217 m → N 69.189897°
W 14.820557°		 →
↑
217 m
↓
↑
217 m
↓
N 69.187945°
W 14.826050°		 ← 217.02 m →
47 089 m²		 N 69.187945°
W 14.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458824157714844 y=0.230262756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458824157714844 × 216)
    floor (0.458824157714844 × 65536)
    floor (30069.5)     		tx = 30069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230262756347656 × 216)
    floor (0.230262756347656 × 65536)
    floor (15090.5)     		ty = 15090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30069 / 15090 ti = "16/30069/15090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30069/15090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30069 ÷ 216
    30069 ÷ 65536     		x = 0.458816528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15090 ÷ 216
    15090 ÷ 65536     		y = 0.230255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458816528320312 × 2 - 1) × π
    -0.082366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25876338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230255126953125 × 2 - 1) × π
    0.53948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69485702296671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25876338} λ = -0.25876338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69485702296671))-π/2
    2×atan(5.44586727559998)-π/2
    2×1.38919391911357-π/2
    2.77838783822714-1.57079632675     		φ = 1.20759151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25876338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.826050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20759151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.189897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30069 KachelY 15090 -0.25876338 1.20759151 -14.826050 69.189897
    Oben rechts KachelX + 1 30070 KachelY 15090 -0.25866751 1.20759151 -14.820557 69.189897
    Unten links KachelX 30069 KachelY + 1 15091 -0.25876338 1.20755745 -14.826050 69.187945
    Unten rechts KachelX + 1 30070 KachelY + 1 15091 -0.25866751 1.20755745 -14.820557 69.187945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20759151-1.20755745) × R
    3.4060000000169e-05 × 6371000     		dl = 216.996260001076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20759151-1.20755745) × R
    3.4060000000169e-05 × 6371000     		dr = 216.996260001076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25876338--0.25866751) × cos(1.20759151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355271796923068 × 6371000     		do = 216.995668586529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25876338--0.25866751) × cos(1.20755745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355303634746303 × 6371000     		du = 217.015114739584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20759151)-sin(1.20755745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355271796923068-0.355303634746303)×R²
    abs(-0.25866751--0.25876338)×3.18378232344596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18378232344596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18378232344596e-05×40589641000000     		ar = 47089.358395626m²