Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30068 / 42124
↖ ↑ ↗
← S 45.629405°
W 14.831543°		 ← 427.17 m → S 45.629405°
W 14.826050°		 →
↑
427.11 m
↓
↑
427.11 m
↓
S 45.633246°
W 14.831543°		 ← 427.14 m →
182 442 m²		 S 45.633246°
W 14.826050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458808898925781 y=0.642768859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458808898925781 × 216)
    floor (0.458808898925781 × 65536)
    floor (30068.5)     		tx = 30068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642768859863281 × 216)
    floor (0.642768859863281 × 65536)
    floor (42124.5)     		ty = 42124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30068 / 42124 ti = "16/30068/42124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30068/42124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30068 ÷ 216
    30068 ÷ 65536     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42124 ÷ 216
    42124 ÷ 65536     		y = 0.64276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.2855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.896995265690491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.896995265690491))-π/2
    2×atan(0.407793130728553)-π/2
    2×0.387206487610934-π/2
    0.774412975221868-1.57079632675     		φ = -0.79638335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79638335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.629405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30068 KachelY 42124 -0.25885926 -0.79638335 -14.831543 -45.629405
    Oben rechts KachelX + 1 30069 KachelY 42124 -0.25876338 -0.79638335 -14.826050 -45.629405
    Unten links KachelX 30068 KachelY + 1 42125 -0.25885926 -0.79645039 -14.831543 -45.633246
    Unten rechts KachelX + 1 30069 KachelY + 1 42125 -0.25876338 -0.79645039 -14.826050 -45.633246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79638335--0.79645039) × R
    6.70399999999072e-05 × 6371000     		dl = 427.111839999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79638335--0.79645039) × R
    6.70399999999072e-05 × 6371000     		dr = 427.111839999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25876338) × cos(-0.79638335) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699296573085723 × 6371000     		do = 427.166346628309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25876338) × cos(-0.79645039) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.699248649199792 × 6371000     		du = 427.137072251661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79638335)-sin(-0.79645039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699296573085723-0.699248649199792)×R²
    abs(-0.25876338--0.25885926)×4.79238859305564e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79238859305564e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79238859305564e-05×40589641000000     		ar = 182441.552646303m²