Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30068 / 41035
↖ ↑ ↗
← S 41.290190°
W 14.831543°		 ← 458.98 m → S 41.290190°
W 14.826050°		 →
↑
458.97 m
↓
↑
458.97 m
↓
S 41.294317°
W 14.831543°		 ← 458.95 m →
210 650 m²		 S 41.294317°
W 14.826050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458808898925781 y=0.626152038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458808898925781 × 216)
    floor (0.458808898925781 × 65536)
    floor (30068.5)     		tx = 30068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626152038574219 × 216)
    floor (0.626152038574219 × 65536)
    floor (41035.5)     		ty = 41035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30068 / 41035 ti = "16/30068/41035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30068/41035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30068 ÷ 216
    30068 ÷ 65536     		x = 0.45880126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41035 ÷ 216
    41035 ÷ 65536     		y = 0.626144409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.252288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.792588698318008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25885926} λ = -0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792588698318008))-π/2
    2×atan(0.452671447401267)-π/2
    2×0.425073281653911-π/2
    0.850146563307822-1.57079632675     		φ = -0.72064976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72064976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.290190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30068 KachelY 41035 -0.25885926 -0.72064976 -14.831543 -41.290190
    Oben rechts KachelX + 1 30069 KachelY 41035 -0.25876338 -0.72064976 -14.826050 -41.290190
    Unten links KachelX 30068 KachelY + 1 41036 -0.25885926 -0.72072180 -14.831543 -41.294317
    Unten rechts KachelX + 1 30069 KachelY + 1 41036 -0.25876338 -0.72072180 -14.826050 -41.294317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72064976--0.72072180) × R
    7.20399999999399e-05 × 6371000     		dl = 458.966839999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72064976--0.72072180) × R
    7.20399999999399e-05 × 6371000     		dr = 458.966839999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25885926--0.25876338) × cos(-0.72064976) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.751377128684887 × 6371000     		do = 458.979831095279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25885926--0.25876338) × cos(-0.72072180) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.751329589482399 × 6371000     		du = 458.95079170308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72064976)-sin(-0.72072180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751377128684887-0.751329589482399)×R²
    abs(-0.25876338--0.25885926)×4.75392024884558e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75392024884558e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75392024884558e-05×40589641000000     		ar = 210649.858733412m²