Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30067 / 41747
↖ ↑ ↗
← S 44.162504°
W 14.837036°		 ← 438.16 m → S 44.162504°
W 14.831543°		 →
↑
438.20 m
↓
↑
438.20 m
↓
S 44.166445°
W 14.837036°		 ← 438.13 m →
191 994 m²		 S 44.166445°
W 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458793640136719 y=0.637016296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458793640136719 × 216)
    floor (0.458793640136719 × 65536)
    floor (30067.5)     		tx = 30067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637016296386719 × 216)
    floor (0.637016296386719 × 65536)
    floor (41747.5)     		ty = 41747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30067 / 41747 ti = "16/30067/41747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30067/41747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30067 ÷ 216
    30067 ÷ 65536     		x = 0.458786010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41747 ÷ 216
    41747 ÷ 65536     		y = 0.637008666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458786010742188 × 2 - 1) × π
    -0.082427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25895513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637008666992188 × 2 - 1) × π
    -0.274017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860850843376968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25895513} λ = -0.25895513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860850843376968))-π/2
    2×atan(0.422802190789998)-π/2
    2×0.400007611445779-π/2
    0.800015222891558-1.57079632675     		φ = -0.77078110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25895513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.837036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77078110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.162504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30067 KachelY 41747 -0.25895513 -0.77078110 -14.837036 -44.162504
    Oben rechts KachelX + 1 30068 KachelY 41747 -0.25885926 -0.77078110 -14.831543 -44.162504
    Unten links KachelX 30067 KachelY + 1 41748 -0.25895513 -0.77084988 -14.837036 -44.166445
    Unten rechts KachelX + 1 30068 KachelY + 1 41748 -0.25885926 -0.77084988 -14.831543 -44.166445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77078110--0.77084988) × R
    6.87799999999905e-05 × 6371000     		dl = 438.19737999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77078110--0.77084988) × R
    6.87799999999905e-05 × 6371000     		dr = 438.19737999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25895513--0.25885926) × cos(-0.77078110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717366699426527 × 6371000     		do = 438.158806614979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25895513--0.25885926) × cos(-0.77084988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717318778993569 × 6371000     		du = 438.129537400595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77078110)-sin(-0.77084988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717366699426527-0.717318778993569)×R²
    abs(-0.25885926--0.25895513)×4.7920432958426e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7920432958426e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7920432958426e-05×40589641000000     		ar = 191993.628311887m²