Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30067 / 15093
↖ ↑ ↗
← N 69.184041°
W 14.837036°		 ← 217.05 m → N 69.184041°
W 14.831543°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
N 69.182089°
W 14.837036°		 ← 217.07 m →
47 116 m²		 N 69.182089°
W 14.831543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458793640136719 y=0.230308532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458793640136719 × 216)
    floor (0.458793640136719 × 65536)
    floor (30067.5)     		tx = 30067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230308532714844 × 216)
    floor (0.230308532714844 × 65536)
    floor (15093.5)     		ty = 15093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30067 / 15093 ti = "16/30067/15093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30067/15093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30067 ÷ 216
    30067 ÷ 65536     		x = 0.458786010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15093 ÷ 216
    15093 ÷ 65536     		y = 0.230300903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458786010742188 × 2 - 1) × π
    -0.082427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25895513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230300903320312 × 2 - 1) × π
    0.539398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69456940156898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25895513} λ = -0.25895513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69456940156898))-π/2
    2×atan(5.44430115287837)-π/2
    2×1.38914282035961-π/2
    2.77828564071921-1.57079632675     		φ = 1.20748931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25895513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.837036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20748931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.184041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30067 KachelY 15093 -0.25895513 1.20748931 -14.837036 69.184041
    Oben rechts KachelX + 1 30068 KachelY 15093 -0.25885926 1.20748931 -14.831543 69.184041
    Unten links KachelX 30067 KachelY + 1 15094 -0.25895513 1.20745524 -14.837036 69.182089
    Unten rechts KachelX + 1 30068 KachelY + 1 15094 -0.25885926 1.20745524 -14.831543 69.182089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20748931-1.20745524) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20748931-1.20745524) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25895513--0.25885926) × cos(1.20748931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355367327850723 × 6371000     		do = 217.054017708797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25895513--0.25885926) × cos(1.20745524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355399173784205 × 6371000     		du = 217.073468815492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20748931)-sin(1.20745524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355367327850723-0.355399173784205)×R²
    abs(-0.25885926--0.25895513)×3.18459334817667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18459334817667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18459334817667e-05×40589641000000     		ar = 47115.849605066m²