Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30066 / 15091
↖ ↑ ↗
← N 69.187945°
W 14.842530°		 ← 217.04 m → N 69.187945°
W 14.837036°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
N 69.185993°
W 14.842530°		 ← 217.06 m →
47 112 m²		 N 69.185993°
W 14.837036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458778381347656 y=0.230278015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458778381347656 × 216)
    floor (0.458778381347656 × 65536)
    floor (30066.5)     		tx = 30066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230278015136719 × 216)
    floor (0.230278015136719 × 65536)
    floor (15091.5)     		ty = 15091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30066 / 15091 ti = "16/30066/15091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30066/15091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30066 ÷ 216
    30066 ÷ 65536     		x = 0.458770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15091 ÷ 216
    15091 ÷ 65536     		y = 0.230270385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.08245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25905101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230270385742188 × 2 - 1) × π
    0.539459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69476114916747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25905101} λ = -0.25905101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69476114916747))-π/2
    2×atan(5.44534518464193)-π/2
    2×1.38917688772201-π/2
    2.77835377544402-1.57079632675     		φ = 1.20755745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25905101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.842530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20755745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.187945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30066 KachelY 15091 -0.25905101 1.20755745 -14.842530 69.187945
    Oben rechts KachelX + 1 30067 KachelY 15091 -0.25895513 1.20755745 -14.837036 69.187945
    Unten links KachelX 30066 KachelY + 1 15092 -0.25905101 1.20752338 -14.842530 69.185993
    Unten rechts KachelX + 1 30067 KachelY + 1 15092 -0.25895513 1.20752338 -14.837036 69.185993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20755745-1.20752338) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20755745-1.20752338) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25905101--0.25895513) × cos(1.20755745) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.355303634746303 × 6371000     		do = 217.037751134267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25905101--0.25895513) × cos(1.20752338) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.355335481504743 × 6371000     		du = 217.057204773794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20755745)-sin(1.20752338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355303634746303-0.355335481504743)×R²
    abs(-0.25895513--0.25905101)×3.18467584406457e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.18467584406457e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.18467584406457e-05×40589641000000     		ar = 47112.3190575958m²