Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30065 / 29999
↖ ↑ ↗
← S 81.594093°
E150.303955°		 ← 178.59 m → S 81.594093°
E150.314941°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 81.595699°
E150.303955°		 ← 178.55 m →
31 889 m²		 S 81.595699°
E150.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917526245117188 y=0.915512084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917526245117188 × 215)
    floor (0.917526245117188 × 32768)
    floor (30065.5)     		tx = 30065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915512084960938 × 215)
    floor (0.915512084960938 × 32768)
    floor (29999.5)     		ty = 29999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30065 / 29999 ti = "15/30065/29999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30065/29999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30065 ÷ 215
    30065 ÷ 32768     		x = 0.917510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29999 ÷ 215
    29999 ÷ 32768     		y = 0.915496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917510986328125 × 2 - 1) × π
    0.83502197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62329889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.83099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61064355330826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62329889} λ = 2.62329889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61064355330826))-π/2
    2×atan(0.073487235588446)-π/2
    2×0.0733553763983931-π/2
    0.146710752796786-1.57079632675     		φ = -1.42408557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62329889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.303955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42408557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.594093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30065 KachelY 29999 2.62329889 -1.42408557 150.303955 -81.594093
    Oben rechts KachelX + 1 30066 KachelY 29999 2.62349064 -1.42408557 150.314941 -81.594093
    Unten links KachelX 30065 KachelY + 1 30000 2.62329889 -1.42411360 150.303955 -81.595699
    Unten rechts KachelX + 1 30066 KachelY + 1 30000 2.62349064 -1.42411360 150.314941 -81.595699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42408557--1.42411360) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dl = 178.579130001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42408557--1.42411360) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dr = 178.579130001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62329889-2.62349064) × cos(-1.42408557) × R
    0.000191749999999935 × 0.146185021394733 × 6371000     		do = 178.585359897835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62329889-2.62349064) × cos(-1.42411360) × R
    0.000191749999999935 × 0.146157292456126 × 6371000     		du = 178.551485138072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42408557)-sin(-1.42411360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146185021394733-0.146157292456126)×R²
    abs(2.62349064-2.62329889)×2.77289386067248e-05×R²
    0.000191749999999935×2.77289386067248e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.77289386067248e-05×40589641000000     		ar = 31888.5935410394m²