Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30065 / 20926
↖ ↑ ↗
← N 54.374158°
W 14.848022°		 ← 355.78 m → N 54.374158°
W 14.842530°		 →
↑
355.76 m
↓
↑
355.76 m
↓
N 54.370959°
W 14.848022°		 ← 355.81 m →
126 575 m²		 N 54.370959°
W 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458763122558594 y=0.319313049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458763122558594 × 216)
    floor (0.458763122558594 × 65536)
    floor (30065.5)     		tx = 30065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319313049316406 × 216)
    floor (0.319313049316406 × 65536)
    floor (20926.5)     		ty = 20926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30065 / 20926 ti = "16/30065/20926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30065/20926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30065 ÷ 216
    30065 ÷ 65536     		x = 0.458755493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20926 ÷ 216
    20926 ÷ 65536     		y = 0.319305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458755493164062 × 2 - 1) × π
    -0.082489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25914688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319305419921875 × 2 - 1) × π
    0.36138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13533753060141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25914688} λ = -0.25914688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13533753060141))-π/2
    2×atan(3.11222383642528)-π/2
    2×1.25990220982165-π/2
    2.5198044196433-1.57079632675     		φ = 0.94900809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25914688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.848022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94900809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.374158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30065 KachelY 20926 -0.25914688 0.94900809 -14.848022 54.374158
    Oben rechts KachelX + 1 30066 KachelY 20926 -0.25905101 0.94900809 -14.842530 54.374158
    Unten links KachelX 30065 KachelY + 1 20927 -0.25914688 0.94895225 -14.848022 54.370959
    Unten rechts KachelX + 1 30066 KachelY + 1 20927 -0.25905101 0.94895225 -14.842530 54.370959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94900809-0.94895225) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dl = 355.756639999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94900809-0.94895225) × R
    5.58399999999182e-05 × 6371000     		dr = 355.756639999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25914688--0.25905101) × cos(0.94900809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582489638150194 × 6371000     		do = 355.777547133856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25914688--0.25905101) × cos(0.94895225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.582535026123075 × 6371000     		du = 355.805269552597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94900809)-sin(0.94895225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582489638150194-0.582535026123075)×R²
    abs(-0.25905101--0.25914688)×4.53879728814499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53879728814499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53879728814499e-05×40589641000000     		ar = 126575.156005761m²