Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30065 / 15337
↖ ↑ ↗
← N 68.702491°
W 14.848022°		 ← 221.84 m → N 68.702491°
W 14.842530°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
N 68.700496°
W 14.848022°		 ← 221.86 m →
49 230 m²		 N 68.700496°
W 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458763122558594 y=0.234031677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458763122558594 × 216)
    floor (0.458763122558594 × 65536)
    floor (30065.5)     		tx = 30065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234031677246094 × 216)
    floor (0.234031677246094 × 65536)
    floor (15337.5)     		ty = 15337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30065 / 15337 ti = "16/30065/15337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30065/15337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30065 ÷ 216
    30065 ÷ 65536     		x = 0.458755493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15337 ÷ 216
    15337 ÷ 65536     		y = 0.234024047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458755493164062 × 2 - 1) × π
    -0.082489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25914688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.234024047851562 × 2 - 1) × π
    0.531951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6711761945544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25914688} λ = -0.25914688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6711761945544))-π/2
    2×atan(5.31841961597312)-π/2
    2×1.38494050128346-π/2
    2.76988100256691-1.57079632675     		φ = 1.19908468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25914688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.848022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19908468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.702491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30065 KachelY 15337 -0.25914688 1.19908468 -14.848022 68.702491
    Oben rechts KachelX + 1 30066 KachelY 15337 -0.25905101 1.19908468 -14.842530 68.702491
    Unten links KachelX 30065 KachelY + 1 15338 -0.25914688 1.19904985 -14.848022 68.700496
    Unten rechts KachelX + 1 30066 KachelY + 1 15338 -0.25905101 1.19904985 -14.842530 68.700496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19908468-1.19904985) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dl = 221.901929999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19908468-1.19904985) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dr = 221.901929999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25914688--0.25905101) × cos(1.19908468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363210716580125 × 6371000     		do = 221.844663620072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25914688--0.25905101) × cos(1.19904985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363243167715393 × 6371000     		du = 221.864484376616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19908468)-sin(1.19904985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363210716580125-0.363243167715393)×R²
    abs(-0.25905101--0.25914688)×3.24511352686185e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24511352686185e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24511352686185e-05×40589641000000     		ar = 49229.9581546213m²