Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30062 / 41809
↖ ↑ ↗
← S 44.406316°
W 14.864502°		 ← 436.34 m → S 44.406316°
W 14.859009°		 →
↑
436.35 m
↓
↑
436.35 m
↓
S 44.410241°
W 14.864502°		 ← 436.31 m →
190 392 m²		 S 44.410241°
W 14.859009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458717346191406 y=0.637962341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458717346191406 × 216)
    floor (0.458717346191406 × 65536)
    floor (30062.5)     		tx = 30062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637962341308594 × 216)
    floor (0.637962341308594 × 65536)
    floor (41809.5)     		ty = 41809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30062 / 41809 ti = "16/30062/41809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30062/41809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30062 ÷ 216
    30062 ÷ 65536     		x = 0.458709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41809 ÷ 216
    41809 ÷ 65536     		y = 0.637954711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458709716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25943450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637954711914062 × 2 - 1) × π
    -0.275909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.866795018929855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25943450} λ = -0.25943450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866795018929855))-π/2
    2×atan(0.42029643504784)-π/2
    2×0.397879949760892-π/2
    0.795759899521785-1.57079632675     		φ = -0.77503643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25943450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.864502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77503643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.406316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30062 KachelY 41809 -0.25943450 -0.77503643 -14.864502 -44.406316
    Oben rechts KachelX + 1 30063 KachelY 41809 -0.25933863 -0.77503643 -14.859009 -44.406316
    Unten links KachelX 30062 KachelY + 1 41810 -0.25943450 -0.77510492 -14.864502 -44.410241
    Unten rechts KachelX + 1 30063 KachelY + 1 41810 -0.25933863 -0.77510492 -14.859009 -44.410241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77503643--0.77510492) × R
    6.84899999999766e-05 × 6371000     		dl = 436.349789999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77503643--0.77510492) × R
    6.84899999999766e-05 × 6371000     		dr = 436.349789999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25943450--0.25933863) × cos(-0.77503643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714395542925242 × 6371000     		do = 436.344060561238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25943450--0.25933863) × cos(-0.77510492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.714347615913194 × 6371000     		du = 436.314787328427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77503643)-sin(-0.77510492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714395542925242-0.714347615913194)×R²
    abs(-0.25933863--0.25943450)×4.79270120483655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79270120483655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79270120483655e-05×40589641000000     		ar = 190392.252583674m²