Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30057 / 29991
↖ ↑ ↗
← S 81.581235°
E150.216064°		 ← 178.86 m → S 81.581235°
E150.227051°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 81.582843°
E150.216064°		 ← 178.82 m →
31 983 m²		 S 81.582843°
E150.227051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917282104492188 y=0.915267944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917282104492188 × 215)
    floor (0.917282104492188 × 32768)
    floor (30057.5)     		tx = 30057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915267944335938 × 215)
    floor (0.915267944335938 × 32768)
    floor (29991.5)     		ty = 29991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30057 / 29991 ti = "15/30057/29991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30057/29991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30057 ÷ 215
    30057 ÷ 32768     		x = 0.917266845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29991 ÷ 215
    29991 ÷ 32768     		y = 0.915252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917266845703125 × 2 - 1) × π
    0.83453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62176491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.83050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60910957252042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62176491} λ = 2.62176491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60910957252042))-π/2
    2×atan(0.0736000501015162)-π/2
    2×0.0734675840176542-π/2
    0.146935168035308-1.57079632675     		φ = -1.42386116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62176491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.216064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42386116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.581235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30057 KachelY 29991 2.62176491 -1.42386116 150.216064 -81.581235
    Oben rechts KachelX + 1 30058 KachelY 29991 2.62195666 -1.42386116 150.227051 -81.581235
    Unten links KachelX 30057 KachelY + 1 29992 2.62176491 -1.42388923 150.216064 -81.582843
    Unten rechts KachelX + 1 30058 KachelY + 1 29992 2.62195666 -1.42388923 150.227051 -81.582843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42386116--1.42388923) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42386116--1.42388923) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62176491-2.62195666) × cos(-1.42386116) × R
    0.000191749999999935 × 0.146407016935139 × 6371000     		do = 178.85655836332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62176491-2.62195666) × cos(-1.42388923) × R
    0.000191749999999935 × 0.146379249347537 × 6371000     		du = 178.822636388427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42386116)-sin(-1.42388923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146407016935139-0.146379249347537)×R²
    abs(2.62195666-2.62176491)×2.77675876023675e-05×R²
    0.000191749999999935×2.77675876023675e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.77675876023675e-05×40589641000000     		ar = 31982.5951938153m²