Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30056 / 17127
↖ ↑ ↗
← N 64.832590°
W 14.897461°		 ← 259.75 m → N 64.832590°
W 14.891968°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
N 64.830254°
W 14.897461°		 ← 259.77 m →
67 487 m²		 N 64.830254°
W 14.891968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458625793457031 y=0.261344909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458625793457031 × 216)
    floor (0.458625793457031 × 65536)
    floor (30056.5)     		tx = 30056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261344909667969 × 216)
    floor (0.261344909667969 × 65536)
    floor (17127.5)     		ty = 17127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30056 / 17127 ti = "16/30056/17127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30056/17127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30056 ÷ 216
    30056 ÷ 65536     		x = 0.4586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17127 ÷ 216
    17127 ÷ 65536     		y = 0.261337280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261337280273438 × 2 - 1) × π
    0.477325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4995620939146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26000974} λ = -0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4995620939146))-π/2
    2×atan(4.47972694106681)-π/2
    2×1.35116924150423-π/2
    2.70233848300847-1.57079632675     		φ = 1.13154216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13154216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.832590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30056 KachelY 17127 -0.26000974 1.13154216 -14.897461 64.832590
    Oben rechts KachelX + 1 30057 KachelY 17127 -0.25991387 1.13154216 -14.891968 64.832590
    Unten links KachelX 30056 KachelY + 1 17128 -0.26000974 1.13150138 -14.897461 64.830254
    Unten rechts KachelX + 1 30057 KachelY + 1 17128 -0.25991387 1.13150138 -14.891968 64.830254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13154216-1.13150138) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13154216-1.13150138) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26000974--0.25991387) × cos(1.13154216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425264552827694 × 6371000     		do = 259.746387881669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26000974--0.25991387) × cos(1.13150138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425301461191619 × 6371000     		du = 259.768931058965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13154216)-sin(1.13150138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425264552827694-0.425301461191619)×R²
    abs(-0.25991387--0.26000974)×3.69083639255585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69083639255585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69083639255585e-05×40589641000000     		ar = 67487.4764667332m²