Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30055 / 21026
↖ ↑ ↗
← N 54.052939°
W 14.902954°		 ← 358.59 m → N 54.052939°
W 14.897461°		 →
↑
358.62 m
↓
↑
358.62 m
↓
N 54.049714°
W 14.902954°		 ← 358.62 m →
128 605 m²		 N 54.049714°
W 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458610534667969 y=0.320838928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458610534667969 × 216)
    floor (0.458610534667969 × 65536)
    floor (30055.5)     		tx = 30055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320838928222656 × 216)
    floor (0.320838928222656 × 65536)
    floor (21026.5)     		ty = 21026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30055 / 21026 ti = "16/30055/21026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30055/21026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30055 ÷ 216
    30055 ÷ 65536     		x = 0.458602905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21026 ÷ 216
    21026 ÷ 65536     		y = 0.320831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458602905273438 × 2 - 1) × π
    -0.082794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26010562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320831298828125 × 2 - 1) × π
    0.35833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1257501506774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26010562} λ = -0.26010562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1257501506774))-π/2
    2×atan(3.08252834254964)-π/2
    2×1.25709904135774-π/2
    2.51419808271548-1.57079632675     		φ = 0.94340176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26010562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.902954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94340176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.052939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30055 KachelY 21026 -0.26010562 0.94340176 -14.902954 54.052939
    Oben rechts KachelX + 1 30056 KachelY 21026 -0.26000974 0.94340176 -14.897461 54.052939
    Unten links KachelX 30055 KachelY + 1 21027 -0.26010562 0.94334547 -14.902954 54.049714
    Unten rechts KachelX + 1 30056 KachelY + 1 21027 -0.26000974 0.94334547 -14.897461 54.049714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94340176-0.94334547) × R
    5.62899999999589e-05 × 6371000     		dl = 358.623589999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94340176-0.94334547) × R
    5.62899999999589e-05 × 6371000     		dr = 358.623589999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26010562--0.26000974) × cos(0.94340176) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.587037498984025 × 6371000     		do = 358.592725069863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26010562--0.26000974) × cos(0.94334547) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.587083068171808 × 6371000     		du = 358.620561075662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94340176)-sin(0.94334547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587037498984025-0.587083068171808)×R²
    abs(-0.26000974--0.26010562)×4.55691877825348e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55691877825348e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55691877825348e-05×40589641000000     		ar = 128604.801770706m²