Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30055 / 15340
↖ ↑ ↗
← N 68.696505°
W 14.902954°		 ← 221.93 m → N 68.696505°
W 14.897461°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
N 68.694509°
W 14.902954°		 ← 221.95 m →
49 248 m²		 N 68.694509°
W 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458610534667969 y=0.234077453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458610534667969 × 216)
    floor (0.458610534667969 × 65536)
    floor (30055.5)     		tx = 30055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234077453613281 × 216)
    floor (0.234077453613281 × 65536)
    floor (15340.5)     		ty = 15340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30055 / 15340 ti = "16/30055/15340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30055/15340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30055 ÷ 216
    30055 ÷ 65536     		x = 0.458602905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15340 ÷ 216
    15340 ÷ 65536     		y = 0.23406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458602905273438 × 2 - 1) × π
    -0.082794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26010562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23406982421875 × 2 - 1) × π
    0.5318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67088857315668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26010562} λ = -0.26010562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67088857315668))-π/2
    2×atan(5.31689014465439)-π/2
    2×1.38488826069663-π/2
    2.76977652139325-1.57079632675     		φ = 1.19898019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26010562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.902954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19898019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.696505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30055 KachelY 15340 -0.26010562 1.19898019 -14.902954 68.696505
    Oben rechts KachelX + 1 30056 KachelY 15340 -0.26000974 1.19898019 -14.897461 68.696505
    Unten links KachelX 30055 KachelY + 1 15341 -0.26010562 1.19894536 -14.902954 68.694509
    Unten rechts KachelX + 1 30056 KachelY + 1 15341 -0.26000974 1.19894536 -14.897461 68.694509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19898019-1.19894536) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dl = 221.901929999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19898019-1.19894536) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dr = 221.901929999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26010562--0.26000974) × cos(1.19898019) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363308068663909 × 6371000     		do = 221.927271439273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26010562--0.26000974) × cos(1.19894536) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363340518477077 × 6371000     		du = 221.947093455673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19898019)-sin(1.19894536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363308068663909-0.363340518477077)×R²
    abs(-0.26000974--0.26010562)×3.24498131681339e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.24498131681339e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.24498131681339e-05×40589641000000     		ar = 49248.2891287633m²