Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30054 / 21028
↖ ↑ ↗
← N 54.046489°
W 14.908447°		 ← 358.61 m → N 54.046489°
W 14.902954°		 →
↑
358.62 m
↓
↑
358.62 m
↓
N 54.043264°
W 14.908447°		 ← 358.64 m →
128 611 m²		 N 54.043264°
W 14.902954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458595275878906 y=0.320869445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458595275878906 × 216)
    floor (0.458595275878906 × 65536)
    floor (30054.5)     		tx = 30054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320869445800781 × 216)
    floor (0.320869445800781 × 65536)
    floor (21028.5)     		ty = 21028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30054 / 21028 ti = "16/30054/21028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30054/21028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30054 ÷ 216
    30054 ÷ 65536     		x = 0.458587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21028 ÷ 216
    21028 ÷ 65536     		y = 0.32086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.08282470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26020149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32086181640625 × 2 - 1) × π
    0.3582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12555840307892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26020149} λ = -0.26020149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12555840307892))-π/2
    2×atan(3.08193733180697)-π/2
    2×1.25704275547367-π/2
    2.51408551094734-1.57079632675     		φ = 0.94328918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26020149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.908447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94328918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.046489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30054 KachelY 21028 -0.26020149 0.94328918 -14.908447 54.046489
    Oben rechts KachelX + 1 30055 KachelY 21028 -0.26010562 0.94328918 -14.902954 54.046489
    Unten links KachelX 30054 KachelY + 1 21029 -0.26020149 0.94323289 -14.908447 54.043264
    Unten rechts KachelX + 1 30055 KachelY + 1 21029 -0.26010562 0.94323289 -14.902954 54.043264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94328918-0.94323289) × R
    5.62899999999589e-05 × 6371000     		dl = 358.623589999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94328918-0.94323289) × R
    5.62899999999589e-05 × 6371000     		dr = 358.623589999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26020149--0.26010562) × cos(0.94328918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58712863549938 × 6371000     		do = 358.610989979802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26020149--0.26010562) × cos(0.94323289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.587174200966598 × 6371000     		du = 358.638820809912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94328918)-sin(0.94323289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58712863549938-0.587174200966598)×R²
    abs(-0.26010562--0.26020149)×4.55654672174566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55654672174566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55654672174566e-05×40589641000000     		ar = 128611.351069969m²