Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30054 / 21025
↖ ↑ ↗
← N 54.056164°
W 14.908447°		 ← 358.53 m → N 54.056164°
W 14.902954°		 →
↑
358.56 m
↓
↑
358.56 m
↓
N 54.052939°
W 14.908447°		 ← 358.56 m →
128 559 m²		 N 54.052939°
W 14.902954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458595275878906 y=0.320823669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458595275878906 × 216)
    floor (0.458595275878906 × 65536)
    floor (30054.5)     		tx = 30054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320823669433594 × 216)
    floor (0.320823669433594 × 65536)
    floor (21025.5)     		ty = 21025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30054 / 21025 ti = "16/30054/21025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30054/21025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30054 ÷ 216
    30054 ÷ 65536     		x = 0.458587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21025 ÷ 216
    21025 ÷ 65536     		y = 0.320816040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.08282470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26020149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320816040039062 × 2 - 1) × π
    0.358367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12584602447664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26020149} λ = -0.26020149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12584602447664))-π/2
    2×atan(3.08282389042053)-π/2
    2×1.25712718102349-π/2
    2.51425436204698-1.57079632675     		φ = 0.94345804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26020149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.908447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94345804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.056164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30054 KachelY 21025 -0.26020149 0.94345804 -14.908447 54.056164
    Oben rechts KachelX + 1 30055 KachelY 21025 -0.26010562 0.94345804 -14.902954 54.056164
    Unten links KachelX 30054 KachelY + 1 21026 -0.26020149 0.94340176 -14.908447 54.052939
    Unten rechts KachelX + 1 30055 KachelY + 1 21026 -0.26010562 0.94340176 -14.902954 54.052939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94345804-0.94340176) × R
    5.62800000000196e-05 × 6371000     		dl = 358.559880000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94345804-0.94340176) × R
    5.62800000000196e-05 × 6371000     		dr = 358.559880000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26020149--0.26010562) × cos(0.94345804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586991936032105 × 6371000     		do = 358.527495617024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26020149--0.26010562) × cos(0.94340176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.587037498984025 × 6371000     		du = 358.555324910822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94345804)-sin(0.94340176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586991936032105-0.587037498984025)×R²
    abs(-0.26010562--0.26020149)×4.55629519207079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55629519207079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55629519207079e-05×40589641000000     		ar = 128558.565073094m²