Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30052 / 41841
↖ ↑ ↗
← S 44.531759°
W 14.919434°		 ← 435.45 m → S 44.531759°
W 14.913940°		 →
↑
435.46 m
↓
↑
435.46 m
↓
S 44.535675°
W 14.919434°		 ← 435.42 m →
189 615 m²		 S 44.535675°
W 14.913940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458564758300781 y=0.638450622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458564758300781 × 216)
    floor (0.458564758300781 × 65536)
    floor (30052.5)     		tx = 30052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638450622558594 × 216)
    floor (0.638450622558594 × 65536)
    floor (41841.5)     		ty = 41841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30052 / 41841 ti = "16/30052/41841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30052/41841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30052 ÷ 216
    30052 ÷ 65536     		x = 0.45855712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41841 ÷ 216
    41841 ÷ 65536     		y = 0.638442993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.0828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26039324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638442993164062 × 2 - 1) × π
    -0.276885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.869862980505539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26039324} λ = -0.26039324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869862980505539))-π/2
    2×atan(0.41900895771007)-π/2
    2×0.396785257049818-π/2
    0.793570514099635-1.57079632675     		φ = -0.77722581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26039324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.919434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77722581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.531759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30052 KachelY 41841 -0.26039324 -0.77722581 -14.919434 -44.531759
    Oben rechts KachelX + 1 30053 KachelY 41841 -0.26029736 -0.77722581 -14.913940 -44.531759
    Unten links KachelX 30052 KachelY + 1 41842 -0.26039324 -0.77729416 -14.919434 -44.535675
    Unten rechts KachelX + 1 30053 KachelY + 1 41842 -0.26029736 -0.77729416 -14.913940 -44.535675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77722581--0.77729416) × R
    6.83499999999393e-05 × 6371000     		dl = 435.457849999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77722581--0.77729416) × R
    6.83499999999393e-05 × 6371000     		dr = 435.457849999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26039324--0.26029736) × cos(-0.77722581) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.712861830601861 × 6371000     		do = 435.452704258875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26039324--0.26029736) × cos(-0.77729416) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.71281389477375 × 6371000     		du = 435.423422587328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77722581)-sin(-0.77729416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712861830601861-0.71281389477375)×R²
    abs(-0.26029736--0.26039324)×4.7935828110357e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7935828110357e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7935828110357e-05×40589641000000     		ar = 189614.922980042m²