Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30052 / 29989
↖ ↑ ↗
← S 81.578017°
E150.161133°		 ← 178.92 m → S 81.578017°
E150.172119°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 81.579626°
E150.161133°		 ← 178.88 m →
32 004 m²		 S 81.579626°
E150.172119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917129516601562 y=0.915206909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917129516601562 × 215)
    floor (0.917129516601562 × 32768)
    floor (30052.5)     		tx = 30052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915206909179688 × 215)
    floor (0.915206909179688 × 32768)
    floor (29989.5)     		ty = 29989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30052 / 29989 ti = "15/30052/29989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30052/29989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30052 ÷ 215
    30052 ÷ 32768     		x = 0.9171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29989 ÷ 215
    29989 ÷ 32768     		y = 0.915191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9171142578125 × 2 - 1) × π
    0.834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62080618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.83038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60872607732346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62080618} λ = 2.62080618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60872607732346))-π/2
    2×atan(0.073628280780045)-π/2
    2×0.0734956625374091-π/2
    0.146991325074818-1.57079632675     		φ = -1.42380500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62080618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42380500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.578017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30052 KachelY 29989 2.62080618 -1.42380500 150.161133 -81.578017
    Oben rechts KachelX + 1 30053 KachelY 29989 2.62099792 -1.42380500 150.172119 -81.578017
    Unten links KachelX 30052 KachelY + 1 29990 2.62080618 -1.42383308 150.161133 -81.579626
    Unten rechts KachelX + 1 30053 KachelY + 1 29990 2.62099792 -1.42383308 150.172119 -81.579626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42380500--1.42383308) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dl = 178.897680000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42380500--1.42383308) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dr = 178.897680000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62080618-2.62099792) × cos(-1.42380500) × R
    0.000191739999999996 × 0.146462571548573 × 6371000     		do = 178.915094929233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62080618-2.62099792) × cos(-1.42383308) × R
    0.000191739999999996 × 0.146434794299587 × 6371000     		du = 178.881162921303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42380500)-sin(-1.42383308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146462571548573-0.146434794299587)×R²
    abs(2.62099792-2.62080618)×2.77772489861994e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77772489861994e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77772489861994e-05×40589641000000     		ar = 32004.46022299m²