Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30052 / 29987
↖ ↑ ↗
← S 81.574798°
E150.161133°		 ← 178.98 m → S 81.574798°
E150.172119°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
S 81.576408°
E150.161133°		 ← 178.95 m →
32 039 m²		 S 81.576408°
E150.172119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917129516601562 y=0.915145874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917129516601562 × 215)
    floor (0.917129516601562 × 32768)
    floor (30052.5)     		tx = 30052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915145874023438 × 215)
    floor (0.915145874023438 × 32768)
    floor (29987.5)     		ty = 29987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30052 / 29987 ti = "15/30052/29987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30052/29987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30052 ÷ 215
    30052 ÷ 32768     		x = 0.9171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29987 ÷ 215
    29987 ÷ 32768     		y = 0.915130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9171142578125 × 2 - 1) × π
    0.834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62080618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.83026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6083425821265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62080618} λ = 2.62080618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6083425821265))-π/2
    2×atan(0.0736565222869796)-π/2
    2×0.0735237517110427-π/2
    0.147047503422085-1.57079632675     		φ = -1.42374882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62080618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.161133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42374882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.574798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30052 KachelY 29987 2.62080618 -1.42374882 150.161133 -81.574798
    Oben rechts KachelX + 1 30053 KachelY 29987 2.62099792 -1.42374882 150.172119 -81.574798
    Unten links KachelX 30052 KachelY + 1 29988 2.62080618 -1.42377692 150.161133 -81.576408
    Unten rechts KachelX + 1 30053 KachelY + 1 29988 2.62099792 -1.42377692 150.172119 -81.576408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42374882--1.42377692) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42374882--1.42377692) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62080618-2.62099792) × cos(-1.42374882) × R
    0.000191739999999996 × 0.146518145484232 × 6371000     		do = 178.982982689695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62080618-2.62099792) × cos(-1.42377692) × R
    0.000191739999999996 × 0.146490348682076 × 6371000     		du = 178.949026796091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42374882)-sin(-1.42377692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146518145484232-0.146490348682076)×R²
    abs(2.62099792-2.62080618)×2.77968021563657e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77968021563657e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77968021563657e-05×40589641000000     		ar = 32039.4068978225m²