Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30050 / 41842
↖ ↑ ↗
← S 44.535675°
W 14.930420°		 ← 435.42 m → S 44.535675°
W 14.924927°		 →
↑
435.33 m
↓
↑
435.33 m
↓
S 44.539590°
W 14.930420°		 ← 435.39 m →
189 547 m²		 S 44.539590°
W 14.924927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458534240722656 y=0.638465881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458534240722656 × 216)
    floor (0.458534240722656 × 65536)
    floor (30050.5)     		tx = 30050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638465881347656 × 216)
    floor (0.638465881347656 × 65536)
    floor (41842.5)     		ty = 41842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30050 / 41842 ti = "16/30050/41842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30050/41842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30050 ÷ 216
    30050 ÷ 65536     		x = 0.458526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41842 ÷ 216
    41842 ÷ 65536     		y = 0.638458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458526611328125 × 2 - 1) × π
    -0.08294677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26058499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.27691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.869958854304779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26058499} λ = -0.26058499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869958854304779))-π/2
    2×atan(0.418968787655037)-π/2
    2×0.396751085812712-π/2
    0.793502171625425-1.57079632675     		φ = -0.77729416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26058499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.930420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77729416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.535675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30050 KachelY 41842 -0.26058499 -0.77729416 -14.930420 -44.535675
    Oben rechts KachelX + 1 30051 KachelY 41842 -0.26048911 -0.77729416 -14.924927 -44.535675
    Unten links KachelX 30050 KachelY + 1 41843 -0.26058499 -0.77736249 -14.930420 -44.539590
    Unten rechts KachelX + 1 30051 KachelY + 1 41843 -0.26048911 -0.77736249 -14.924927 -44.539590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77729416--0.77736249) × R
    6.83300000000608e-05 × 6371000     		dl = 435.330430000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77729416--0.77736249) × R
    6.83300000000608e-05 × 6371000     		dr = 435.330430000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26058499--0.26048911) × cos(-0.77729416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.71281389477375 × 6371000     		do = 435.423422587076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26058499--0.26048911) × cos(-0.77736249) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.71276596964361 × 6371000     		du = 435.394147450401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77729416)-sin(-0.77736249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71281389477375-0.71276596964361)×R²
    abs(-0.26048911--0.26058499)×4.79251301404027e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79251301404027e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79251301404027e-05×40589641000000     		ar = 189546.693681753m²