Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3005 / 3515
↖ ↑ ↗
← N 24.726875°
W 47.944336°		 ← 4 438.46 m → N 24.726875°
W 47.900391°		 →
↑
4 439.19 m
↓
↑
4 439.19 m
↓
N 24.686952°
W 47.944336°		 ← 4 439.88 m →
19 706 310 m²		 N 24.686952°
W 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36688232421875 y=0.42913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36688232421875 × 213)
    floor (0.36688232421875 × 8192)
    floor (3005.5)     		tx = 3005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42913818359375 × 213)
    floor (0.42913818359375 × 8192)
    floor (3515.5)     		ty = 3515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3005 / 3515 ti = "13/3005/3515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3005/3515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3005 ÷ 213
    3005 ÷ 8192     		x = 0.3668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3515 ÷ 213
    3515 ÷ 8192     		y = 0.4290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83678652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445621418868042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83678652} λ = -0.83678652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445621418868042))-π/2
    2×atan(1.56146021524672)-π/2
    2×1.00118085350116-π/2
    2.00236170700232-1.57079632675     		φ = 0.43156538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83678652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43156538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.726875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3005 KachelY 3515 -0.83678652 0.43156538 -47.944336 24.726875
    Oben rechts KachelX + 1 3006 KachelY 3515 -0.83601953 0.43156538 -47.900391 24.726875
    Unten links KachelX 3005 KachelY + 1 3516 -0.83678652 0.43086860 -47.944336 24.686952
    Unten rechts KachelX + 1 3006 KachelY + 1 3516 -0.83601953 0.43086860 -47.900391 24.686952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43156538-0.43086860) × R
    0.000696780000000008 × 6371000     		dl = 4439.18538000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43156538-0.43086860) × R
    0.000696780000000008 × 6371000     		dr = 4439.18538000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83678652--0.83601953) × cos(0.43156538) × R
    0.000766990000000023 × 0.908312075053467 × 6371000     		do = 4438.46085997487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83678652--0.83601953) × cos(0.43086860) × R
    0.000766990000000023 × 0.90860331284959 × 6371000     		du = 4439.88399151142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43156538)-sin(0.43086860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908312075053467-0.90860331284959)×R²
    abs(-0.83601953--0.83678652)×0.000291237796122723×R²
    0.000766990000000023×0.000291237796122723×6371000²
    0.000766990000000023×0.000291237796122723×40589641000000     		ar = 19706310.1289455m²