Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30049 / 42785
↖ ↑ ↗
← S 48.111099°
W 14.935913°		 ← 407.82 m → S 48.111099°
W 14.930420°		 →
↑
407.87 m
↓
↑
407.87 m
↓
S 48.114767°
W 14.935913°		 ← 407.79 m →
166 331 m²		 S 48.114767°
W 14.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458518981933594 y=0.652854919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458518981933594 × 216)
    floor (0.458518981933594 × 65536)
    floor (30049.5)     		tx = 30049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652854919433594 × 216)
    floor (0.652854919433594 × 65536)
    floor (42785.5)     		ty = 42785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30049 / 42785 ti = "16/30049/42785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30049/42785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30049 ÷ 216
    30049 ÷ 65536     		x = 0.458511352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42785 ÷ 216
    42785 ÷ 65536     		y = 0.652847290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458511352539062 × 2 - 1) × π
    -0.082977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26068086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652847290039062 × 2 - 1) × π
    -0.305694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.960367846988205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26068086} λ = -0.26068086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960367846988205))-π/2
    2×atan(0.382752065881912)-π/2
    2×0.365549620896774-π/2
    0.731099241793547-1.57079632675     		φ = -0.83969708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26068086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83969708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.111099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30049 KachelY 42785 -0.26068086 -0.83969708 -14.935913 -48.111099
    Oben rechts KachelX + 1 30050 KachelY 42785 -0.26058499 -0.83969708 -14.930420 -48.111099
    Unten links KachelX 30049 KachelY + 1 42786 -0.26068086 -0.83976110 -14.935913 -48.114767
    Unten rechts KachelX + 1 30050 KachelY + 1 42786 -0.26058499 -0.83976110 -14.930420 -48.114767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83969708--0.83976110) × R
    6.40200000000535e-05 × 6371000     		dl = 407.871420000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83969708--0.83976110) × R
    6.40200000000535e-05 × 6371000     		dr = 407.871420000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26068086--0.26058499) × cos(-0.83969708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66768836250839 × 6371000     		do = 407.815885991442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26068086--0.26058499) × cos(-0.83976110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667640702033854 × 6371000     		du = 407.786775556483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83969708)-sin(-0.83976110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66768836250839-0.667640702033854)×R²
    abs(-0.26058499--0.26068086)×4.7660474536082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7660474536082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7660474536082e-05×40589641000000     		ar = 166330.507917747m²