Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30049 / 42781
↖ ↑ ↗
← S 48.096426°
W 14.935913°		 ← 407.93 m → S 48.096426°
W 14.930420°		 →
↑
407.94 m
↓
↑
407.94 m
↓
S 48.100095°
W 14.935913°		 ← 407.90 m →
166 404 m²		 S 48.100095°
W 14.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458518981933594 y=0.652793884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458518981933594 × 216)
    floor (0.458518981933594 × 65536)
    floor (30049.5)     		tx = 30049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652793884277344 × 216)
    floor (0.652793884277344 × 65536)
    floor (42781.5)     		ty = 42781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30049 / 42781 ti = "16/30049/42781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30049/42781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30049 ÷ 216
    30049 ÷ 65536     		x = 0.458511352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42781 ÷ 216
    42781 ÷ 65536     		y = 0.652786254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458511352539062 × 2 - 1) × π
    -0.082977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26068086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.305572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.959984351791245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26068086} λ = -0.26068086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959984351791245))-π/2
    2×atan(0.382898877609802)-π/2
    2×0.365677666811718-π/2
    0.731355333623435-1.57079632675     		φ = -0.83944099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26068086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83944099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.096426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30049 KachelY 42781 -0.26068086 -0.83944099 -14.935913 -48.096426
    Oben rechts KachelX + 1 30050 KachelY 42781 -0.26058499 -0.83944099 -14.930420 -48.096426
    Unten links KachelX 30049 KachelY + 1 42782 -0.26068086 -0.83950502 -14.935913 -48.100095
    Unten rechts KachelX + 1 30050 KachelY + 1 42782 -0.26058499 -0.83950502 -14.930420 -48.100095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83944099--0.83950502) × R
    6.40299999999927e-05 × 6371000     		dl = 407.935129999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83944099--0.83950502) × R
    6.40299999999927e-05 × 6371000     		dr = 407.935129999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26068086--0.26058499) × cos(-0.83944099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667878984481669 × 6371000     		do = 407.932315561414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26068086--0.26058499) × cos(-0.83950502) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.66783132751185 × 6371000     		du = 407.903207267094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83944099)-sin(-0.83950502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667878984481669-0.66783132751185)×R²
    abs(-0.26058499--0.26068086)×4.76569698186768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76569698186768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76569698186768e-05×40589641000000     		ar = 166403.985088638m²