Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30048 / 41835
↖ ↑ ↗
← S 44.508259°
W 14.941406°		 ← 435.58 m → S 44.508259°
W 14.935913°		 →
↑
435.59 m
↓
↑
435.59 m
↓
S 44.512176°
W 14.941406°		 ← 435.55 m →
189 727 m²		 S 44.512176°
W 14.935913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458503723144531 y=0.638359069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458503723144531 × 216)
    floor (0.458503723144531 × 65536)
    floor (30048.5)     		tx = 30048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638359069824219 × 216)
    floor (0.638359069824219 × 65536)
    floor (41835.5)     		ty = 41835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30048 / 41835 ti = "16/30048/41835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30048/41835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30048 ÷ 216
    30048 ÷ 65536     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41835 ÷ 216
    41835 ÷ 65536     		y = 0.638351440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638351440429688 × 2 - 1) × π
    -0.276702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869287737710098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869287737710098))-π/2
    2×atan(0.41925005893344)-π/2
    2×0.396990332722695-π/2
    0.793980665445391-1.57079632675     		φ = -0.77681566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77681566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.508259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30048 KachelY 41835 -0.26077673 -0.77681566 -14.941406 -44.508259
    Oben rechts KachelX + 1 30049 KachelY 41835 -0.26068086 -0.77681566 -14.935913 -44.508259
    Unten links KachelX 30048 KachelY + 1 41836 -0.26077673 -0.77688403 -14.941406 -44.512176
    Unten rechts KachelX + 1 30049 KachelY + 1 41836 -0.26068086 -0.77688403 -14.935913 -44.512176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77681566--0.77688403) × R
    6.83699999999288e-05 × 6371000     		dl = 435.585269999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77681566--0.77688403) × R
    6.83699999999288e-05 × 6371000     		dr = 435.585269999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.26068086) × cos(-0.77681566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.713149410677145 × 6371000     		do = 435.582938224298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.26068086) × cos(-0.77688403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71310148081537 × 6371000     		du = 435.553663250908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77681566)-sin(-0.77688403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713149410677145-0.71310148081537)×R²
    abs(-0.26068086--0.26077673)×4.79298617751533e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79298617751533e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79298617751533e-05×40589641000000     		ar = 189727.135953962m²