Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30048 / 39328
↖ ↑ ↗
← S 33.870416°
W 14.941406°		 ← 507.14 m → S 33.870416°
W 14.935913°		 →
↑
507.13 m
↓
↑
507.13 m
↓
S 33.874976°
W 14.941406°		 ← 507.11 m →
257 178 m²		 S 33.874976°
W 14.935913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458503723144531 y=0.600105285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458503723144531 × 216)
    floor (0.458503723144531 × 65536)
    floor (30048.5)     		tx = 30048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600105285644531 × 216)
    floor (0.600105285644531 × 65536)
    floor (39328.5)     		ty = 39328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30048 / 39328 ti = "16/30048/39328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30048/39328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30048 ÷ 216
    30048 ÷ 65536     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39328 ÷ 216
    39328 ÷ 65536     		y = 0.60009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628932123015137))-π/2
    2×atan(0.533160847315171)-π/2
    2×0.489823028213599-π/2
    0.979646056427198-1.57079632675     		φ = -0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30048 KachelY 39328 -0.26077673 -0.59115027 -14.941406 -33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 30049 KachelY 39328 -0.26068086 -0.59115027 -14.935913 -33.870416
    Unten links KachelX 30048 KachelY + 1 39329 -0.26077673 -0.59122987 -14.941406 -33.874976
    Unten rechts KachelX + 1 30049 KachelY + 1 39329 -0.26068086 -0.59122987 -14.935913 -33.874976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59115027--0.59122987) × R
    7.96000000000685e-05 × 6371000     		dl = 507.131600000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59115027--0.59122987) × R
    7.96000000000685e-05 × 6371000     		dr = 507.131600000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.26068086) × cos(-0.59115027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 507.137185679562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.26068086) × cos(-0.59122987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.830255799109274 × 6371000     		du = 507.11008806751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59115027)-sin(-0.59122987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.830255799109274)×R²
    abs(-0.26068086--0.26077673)×4.4365020687942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4365020687942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4365020687942e-05×40589641000000     		ar = 257178.421501645m²