Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30048 / 15200
↖ ↑ ↗
← N 68.974163°
W 14.941406°		 ← 219.14 m → N 68.974163°
W 14.935913°		 →
↑
219.16 m
↓
↑
219.16 m
↓
N 68.972192°
W 14.941406°		 ← 219.16 m →
48 030 m²		 N 68.972192°
W 14.935913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458503723144531 y=0.231941223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458503723144531 × 216)
    floor (0.458503723144531 × 65536)
    floor (30048.5)     		tx = 30048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231941223144531 × 216)
    floor (0.231941223144531 × 65536)
    floor (15200.5)     		ty = 15200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30048 / 15200 ti = "16/30048/15200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30048/15200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30048 ÷ 216
    30048 ÷ 65536     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15200 ÷ 216
    15200 ÷ 65536     		y = 0.23193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23193359375 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68431090505029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68431090505029))-π/2
    2×atan(5.3887363016591)-π/2
    2×1.38731129005862-π/2
    2.77462258011724-1.57079632675     		φ = 1.20382625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20382625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.974163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30048 KachelY 15200 -0.26077673 1.20382625 -14.941406 68.974163
    Oben rechts KachelX + 1 30049 KachelY 15200 -0.26068086 1.20382625 -14.935913 68.974163
    Unten links KachelX 30048 KachelY + 1 15201 -0.26077673 1.20379185 -14.941406 68.972192
    Unten rechts KachelX + 1 30049 KachelY + 1 15201 -0.26068086 1.20379185 -14.935913 68.972192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20382625-1.20379185) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dl = 219.162400000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20382625-1.20379185) × R
    3.4400000000101e-05 × 6371000     		dr = 219.162400000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.26068086) × cos(1.20382625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35878889613588 × 6371000     		do = 219.143869771591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.26068086) × cos(1.20379185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.358821005527944 × 6371000     		du = 219.163481795566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20382625)-sin(1.20379185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35878889613588-0.358821005527944)×R²
    abs(-0.26068086--0.26077673)×3.21093920635507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21093920635507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21093920635507e-05×40589641000000     		ar = 48030.2455582462m²