Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30045 / 20712
↖ ↑ ↗
← N 55.053203°
W 14.957886°		 ← 349.91 m → N 55.053203°
W 14.952392°		 →
↑
349.90 m
↓
↑
349.90 m
↓
N 55.050056°
W 14.957886°		 ← 349.93 m →
122 435 m²		 N 55.050056°
W 14.952392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458457946777344 y=0.316047668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458457946777344 × 216)
    floor (0.458457946777344 × 65536)
    floor (30045.5)     		tx = 30045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316047668457031 × 216)
    floor (0.316047668457031 × 65536)
    floor (20712.5)     		ty = 20712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30045 / 20712 ti = "16/30045/20712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30045/20712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30045 ÷ 216
    30045 ÷ 65536     		x = 0.458450317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20712 ÷ 216
    20712 ÷ 65536     		y = 0.3160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458450317382812 × 2 - 1) × π
    -0.083099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26106436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3160400390625 × 2 - 1) × π
    0.367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15585452363879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26106436} λ = -0.26106436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15585452363879))-π/2
    2×atan(3.17673685475097)-π/2
    2×1.26582798782908-π/2
    2.53165597565815-1.57079632675     		φ = 0.96085965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26106436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.957886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96085965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.053203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30045 KachelY 20712 -0.26106436 0.96085965 -14.957886 55.053203
    Oben rechts KachelX + 1 30046 KachelY 20712 -0.26096848 0.96085965 -14.952392 55.053203
    Unten links KachelX 30045 KachelY + 1 20713 -0.26106436 0.96080473 -14.957886 55.050056
    Unten rechts KachelX + 1 30046 KachelY + 1 20713 -0.26096848 0.96080473 -14.952392 55.050056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96085965-0.96080473) × R
    5.49199999999583e-05 × 6371000     		dl = 349.895319999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96085965-0.96080473) × R
    5.49199999999583e-05 × 6371000     		dr = 349.895319999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26106436--0.26096848) × cos(0.96085965) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572815556212419 × 6371000     		do = 349.905230279353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26106436--0.26096848) × cos(0.96080473) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572860572409849 × 6371000     		du = 349.932728490176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96085965)-sin(0.96080473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572815556212419-0.572860572409849)×R²
    abs(-0.26096848--0.26106436)×4.50161974293595e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50161974293595e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50161974293595e-05×40589641000000     		ar = 122435.013296409m²