Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30044 / 41826
↖ ↑ ↗
← S 44.472991°
W 14.963379°		 ← 435.85 m → S 44.472991°
W 14.957886°		 →
↑
435.90 m
↓
↑
435.90 m
↓
S 44.476911°
W 14.963379°		 ← 435.82 m →
189 981 m²		 S 44.476911°
W 14.957886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458442687988281 y=0.638221740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458442687988281 × 216)
    floor (0.458442687988281 × 65536)
    floor (30044.5)     		tx = 30044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638221740722656 × 216)
    floor (0.638221740722656 × 65536)
    floor (41826.5)     		ty = 41826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30044 / 41826 ti = "16/30044/41826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30044/41826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30044 ÷ 216
    30044 ÷ 65536     		x = 0.45843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41826 ÷ 216
    41826 ÷ 65536     		y = 0.638214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.0831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26116023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638214111328125 × 2 - 1) × π
    -0.27642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.868424873516937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26116023} λ = -0.26116023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868424873516937))-π/2
    2×atan(0.419611970915265)-π/2
    2×0.397298101320161-π/2
    0.794596202640321-1.57079632675     		φ = -0.77620012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26116023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.963379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77620012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.472991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30044 KachelY 41826 -0.26116023 -0.77620012 -14.963379 -44.472991
    Oben rechts KachelX + 1 30045 KachelY 41826 -0.26106436 -0.77620012 -14.957886 -44.472991
    Unten links KachelX 30044 KachelY + 1 41827 -0.26116023 -0.77626854 -14.963379 -44.476911
    Unten rechts KachelX + 1 30045 KachelY + 1 41827 -0.26106436 -0.77626854 -14.957886 -44.476911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77620012--0.77626854) × R
    6.8419999999958e-05 × 6371000     		dl = 435.903819999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77620012--0.77626854) × R
    6.8419999999958e-05 × 6371000     		dr = 435.903819999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26116023--0.26106436) × cos(-0.77620012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7135807765152 × 6371000     		do = 435.846411202578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26116023--0.26106436) × cos(-0.77626854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.713532841642922 × 6371000     		du = 435.817133168834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77620012)-sin(-0.77626854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7135807765152-0.713532841642922)×R²
    abs(-0.26106436--0.26116023)×4.7934872278943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7934872278943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7934872278943e-05×40589641000000     		ar = 189980.734446773m²