Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30043 / 20719
↖ ↑ ↗
← N 55.031171°
W 14.968872°		 ← 350.06 m → N 55.031171°
W 14.963379°		 →
↑
350.09 m
↓
↑
350.09 m
↓
N 55.028022°
W 14.968872°		 ← 350.09 m →
122 557 m²		 N 55.028022°
W 14.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458427429199219 y=0.316154479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458427429199219 × 216)
    floor (0.458427429199219 × 65536)
    floor (30043.5)     		tx = 30043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316154479980469 × 216)
    floor (0.316154479980469 × 65536)
    floor (20719.5)     		ty = 20719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30043 / 20719 ti = "16/30043/20719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30043/20719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30043 ÷ 216
    30043 ÷ 65536     		x = 0.458419799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20719 ÷ 216
    20719 ÷ 65536     		y = 0.316146850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458419799804688 × 2 - 1) × π
    -0.083160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26125610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316146850585938 × 2 - 1) × π
    0.367706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15518340704411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26125610} λ = -0.26125610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15518340704411))-π/2
    2×atan(3.17460560916795)-π/2
    2×1.26563572194253-π/2
    2.53127144388505-1.57079632675     		φ = 0.96047512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26125610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.968872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96047512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.031171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30043 KachelY 20719 -0.26125610 0.96047512 -14.968872 55.031171
    Oben rechts KachelX + 1 30044 KachelY 20719 -0.26116023 0.96047512 -14.963379 55.031171
    Unten links KachelX 30043 KachelY + 1 20720 -0.26125610 0.96042017 -14.968872 55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 30044 KachelY + 1 20720 -0.26116023 0.96042017 -14.963379 55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96047512-0.96042017) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dl = 350.086449999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96047512-0.96042017) × R
    5.49499999999981e-05 × 6371000     		dr = 350.086449999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26125610--0.26116023) × cos(0.96047512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573130707056252 × 6371000     		do = 350.061226481404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26125610--0.26116023) × cos(0.96042017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 350.088729448239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96047512)-sin(0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573130707056252-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.26116023--0.26125610)×4.50286796596089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50286796596089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50286796596089e-05×40589641000000     		ar = 122556.506300126m²