Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30043 / 20705
↖ ↑ ↗
← N 55.075223°
W 14.968872°		 ← 349.68 m → N 55.075223°
W 14.963379°		 →
↑
349.70 m
↓
↑
349.70 m
↓
N 55.072078°
W 14.968872°		 ← 349.70 m →
122 288 m²		 N 55.072078°
W 14.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458427429199219 y=0.315940856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458427429199219 × 216)
    floor (0.458427429199219 × 65536)
    floor (30043.5)     		tx = 30043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315940856933594 × 216)
    floor (0.315940856933594 × 65536)
    floor (20705.5)     		ty = 20705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30043 / 20705 ti = "16/30043/20705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30043/20705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30043 ÷ 216
    30043 ÷ 65536     		x = 0.458419799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20705 ÷ 216
    20705 ÷ 65536     		y = 0.315933227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458419799804688 × 2 - 1) × π
    -0.083160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26125610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315933227539062 × 2 - 1) × π
    0.368133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15652564023347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26125610} λ = -0.26125610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15652564023347))-π/2
    2×atan(3.17886953112834)-π/2
    2×1.26602014797854-π/2
    2.53204029595707-1.57079632675     		φ = 0.96124397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26125610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.968872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96124397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.075223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30043 KachelY 20705 -0.26125610 0.96124397 -14.968872 55.075223
    Oben rechts KachelX + 1 30044 KachelY 20705 -0.26116023 0.96124397 -14.963379 55.075223
    Unten links KachelX 30043 KachelY + 1 20706 -0.26125610 0.96118908 -14.968872 55.072078
    Unten rechts KachelX + 1 30044 KachelY + 1 20706 -0.26116023 0.96118908 -14.963379 55.072078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96124397-0.96118908) × R
    5.48899999999186e-05 × 6371000     		dl = 349.704189999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96124397-0.96118908) × R
    5.48899999999186e-05 × 6371000     		dr = 349.704189999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26125610--0.26116023) × cos(0.96124397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572500492850109 × 6371000     		do = 349.676299351811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26125610--0.26116023) × cos(0.96118908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572545496538835 × 6371000     		du = 349.70378705449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96124397)-sin(0.96118908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572500492850109-0.572545496538835)×R²
    abs(-0.26116023--0.26125610)×4.50036887259531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50036887259531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50036887259531e-05×40589641000000     		ar = 122288.073339944m²