Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30042 / 41839
↖ ↑ ↗
← S 44.523926°
W 14.974365°		 ← 435.51 m → S 44.523926°
W 14.968872°		 →
↑
435.52 m
↓
↑
435.52 m
↓
S 44.527843°
W 14.974365°		 ← 435.48 m →
189 668 m²		 S 44.527843°
W 14.968872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458412170410156 y=0.638420104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458412170410156 × 216)
    floor (0.458412170410156 × 65536)
    floor (30042.5)     		tx = 30042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638420104980469 × 216)
    floor (0.638420104980469 × 65536)
    floor (41839.5)     		ty = 41839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30042 / 41839 ti = "16/30042/41839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30042/41839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30042 ÷ 216
    30042 ÷ 65536     		x = 0.458404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41839 ÷ 216
    41839 ÷ 65536     		y = 0.638412475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.08319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26135198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638412475585938 × 2 - 1) × π
    -0.276824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.869671232907059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26135198} λ = -0.26135198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869671232907059))-π/2
    2×atan(0.419089309374826)-π/2
    2×0.396853606416942-π/2
    0.793707212833883-1.57079632675     		φ = -0.77708911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26135198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.974365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77708911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.523926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30042 KachelY 41839 -0.26135198 -0.77708911 -14.974365 -44.523926
    Oben rechts KachelX + 1 30043 KachelY 41839 -0.26125610 -0.77708911 -14.968872 -44.523926
    Unten links KachelX 30042 KachelY + 1 41840 -0.26135198 -0.77715747 -14.974365 -44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 30043 KachelY + 1 41840 -0.26125610 -0.77715747 -14.968872 -44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77708911--0.77715747) × R
    6.83599999999895e-05 × 6371000     		dl = 435.521559999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77708911--0.77715747) × R
    6.83599999999895e-05 × 6371000     		dr = 435.521559999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26135198--0.26125610) × cos(-0.77708911) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.71295769226698 × 6371000     		do = 435.511261498636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26135198--0.26125610) × cos(-0.77715747) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 435.481979612223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77708911)-sin(-0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71295769226698-0.712909756087121)×R²
    abs(-0.26125610--0.26135198)×4.79361798589872e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79361798589872e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79361798589872e-05×40589641000000     		ar = 189668.167632824m²