Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30042 / 20704
↖ ↑ ↗
← N 55.078367°
W 14.974365°		 ← 349.69 m → N 55.078367°
W 14.968872°		 →
↑
349.64 m
↓
↑
349.64 m
↓
N 55.075223°
W 14.974365°		 ← 349.71 m →
122 269 m²		 N 55.075223°
W 14.968872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458412170410156 y=0.315925598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458412170410156 × 216)
    floor (0.458412170410156 × 65536)
    floor (30042.5)     		tx = 30042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315925598144531 × 216)
    floor (0.315925598144531 × 65536)
    floor (20704.5)     		ty = 20704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30042 / 20704 ti = "16/30042/20704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30042/20704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30042 ÷ 216
    30042 ÷ 65536     		x = 0.458404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20704 ÷ 216
    20704 ÷ 65536     		y = 0.31591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.08319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26135198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31591796875 × 2 - 1) × π
    0.3681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15662151403271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26135198} λ = -0.26135198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15662151403271))-π/2
    2×atan(3.17917431603779)-π/2
    2×1.2660475907986-π/2
    2.53209518159719-1.57079632675     		φ = 0.96129885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26135198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.974365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96129885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.078367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30042 KachelY 20704 -0.26135198 0.96129885 -14.974365 55.078367
    Oben rechts KachelX + 1 30043 KachelY 20704 -0.26125610 0.96129885 -14.968872 55.078367
    Unten links KachelX 30042 KachelY + 1 20705 -0.26135198 0.96124397 -14.974365 55.075223
    Unten rechts KachelX + 1 30043 KachelY + 1 20705 -0.26125610 0.96124397 -14.968872 55.075223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96129885-0.96124397) × R
    5.48800000000904e-05 × 6371000     		dl = 349.640480000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96129885-0.96124397) × R
    5.48800000000904e-05 × 6371000     		dr = 349.640480000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26135198--0.26125610) × cos(0.96129885) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572455495635847 × 6371000     		do = 349.685286743264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26135198--0.26125610) × cos(0.96124397) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.572500492850109 × 6371000     		du = 349.712773358191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96129885)-sin(0.96124397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572455495635847-0.572500492850109)×R²
    abs(-0.26125610--0.26135198)×4.4997214261655e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4997214261655e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4997214261655e-05×40589641000000     		ar = 122268.936753156m²