Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30041 / 42791
↖ ↑ ↗
← S 48.133101°
W 14.979858°		 ← 407.64 m → S 48.133101°
W 14.974365°		 →
↑
407.62 m
↓
↑
407.62 m
↓
S 48.136767°
W 14.979858°		 ← 407.61 m →
166 155 m²		 S 48.136767°
W 14.974365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458396911621094 y=0.652946472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458396911621094 × 216)
    floor (0.458396911621094 × 65536)
    floor (30041.5)     		tx = 30041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652946472167969 × 216)
    floor (0.652946472167969 × 65536)
    floor (42791.5)     		ty = 42791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30041 / 42791 ti = "16/30041/42791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30041/42791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30041 ÷ 216
    30041 ÷ 65536     		x = 0.458389282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42791 ÷ 216
    42791 ÷ 65536     		y = 0.652938842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458389282226562 × 2 - 1) × π
    -0.083221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26144785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652938842773438 × 2 - 1) × π
    -0.305877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.960943089783646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26144785} λ = -0.26144785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960943089783646))-π/2
    2×atan(0.38253195382858)-π/2
    2×0.365357620555995-π/2
    0.73071524111199-1.57079632675     		φ = -0.84008109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26144785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.979858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84008109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.133101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30041 KachelY 42791 -0.26144785 -0.84008109 -14.979858 -48.133101
    Oben rechts KachelX + 1 30042 KachelY 42791 -0.26135198 -0.84008109 -14.974365 -48.133101
    Unten links KachelX 30041 KachelY + 1 42792 -0.26144785 -0.84014507 -14.979858 -48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 30042 KachelY + 1 42792 -0.26135198 -0.84014507 -14.974365 -48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84008109--0.84014507) × R
    6.39800000000745e-05 × 6371000     		dl = 407.616580000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84008109--0.84014507) × R
    6.39800000000745e-05 × 6371000     		dr = 407.616580000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26144785--0.26135198) × cos(-0.84008109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667402440536296 × 6371000     		do = 407.641248347713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26144785--0.26135198) × cos(-0.84014507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 407.612146084504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84008109)-sin(-0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667402440536296-0.667354793440794)×R²
    abs(-0.26135198--0.26144785)×4.76470955020902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76470955020902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76470955020902e-05×40589641000000     		ar = 166155.400292606m²