Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30041 / 20713
↖ ↑ ↗
← N 55.050056°
W 14.979858°		 ← 349.90 m → N 55.050056°
W 14.974365°		 →
↑
349.96 m
↓
↑
349.96 m
↓
N 55.046909°
W 14.979858°		 ← 349.92 m →
122 454 m²		 N 55.046909°
W 14.974365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458396911621094 y=0.316062927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458396911621094 × 216)
    floor (0.458396911621094 × 65536)
    floor (30041.5)     		tx = 30041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316062927246094 × 216)
    floor (0.316062927246094 × 65536)
    floor (20713.5)     		ty = 20713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30041 / 20713 ti = "16/30041/20713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30041/20713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30041 ÷ 216
    30041 ÷ 65536     		x = 0.458389282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20713 ÷ 216
    20713 ÷ 65536     		y = 0.316055297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458389282226562 × 2 - 1) × π
    -0.083221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26144785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316055297851562 × 2 - 1) × π
    0.367889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15575864983955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26144785} λ = -0.26144785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15575864983955))-π/2
    2×atan(3.176432303519)-π/2
    2×1.26580052774825-π/2
    2.5316010554965-1.57079632675     		φ = 0.96080473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26144785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.979858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96080473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.050056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30041 KachelY 20713 -0.26144785 0.96080473 -14.979858 55.050056
    Oben rechts KachelX + 1 30042 KachelY 20713 -0.26135198 0.96080473 -14.974365 55.050056
    Unten links KachelX 30041 KachelY + 1 20714 -0.26144785 0.96074980 -14.979858 55.046909
    Unten rechts KachelX + 1 30042 KachelY + 1 20714 -0.26135198 0.96074980 -14.974365 55.046909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96080473-0.96074980) × R
    5.49300000000086e-05 × 6371000     		dl = 349.959030000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96080473-0.96074980) × R
    5.49300000000086e-05 × 6371000     		dr = 349.959030000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26144785--0.26135198) × cos(0.96080473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572860572409849 × 6371000     		do = 349.896231543127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26144785--0.26135198) × cos(0.96074980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572905595075626 × 6371000     		du = 349.923730836757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96080473)-sin(0.96074980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572860572409849-0.572905595075626)×R²
    abs(-0.26135198--0.26144785)×4.50226657772168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50226657772168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50226657772168e-05×40589641000000     		ar = 122454.157635299m²